Question Number 9575 by j.masanja06@gmail.com last updated on 18/Dec/16
$$\mathrm{the}\:\mathrm{expression}\:\mathrm{ax}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{bx}\:+\:\mathrm{c}\:\mathrm{is}\:\mathrm{divisible}\:\:\mathrm{by}\:\mathrm{x}−\mathrm{1},\mathrm{has}\:\mathrm{reminder}\:\mathrm{2}\:\mathrm{when}\:\mathrm{divided}\:\mathrm{by}\:\mathrm{x}+\mathrm{1},\mathrm{and}\:\mathrm{has}\:\mathrm{reminder}\:\mathrm{8}\:\mathrm{when}\:\mathrm{divided}\:\mathrm{by}\:\mathrm{x}−\mathrm{2}.\mathrm{find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:\mathrm{a},\mathrm{b}\:\mathrm{and}\:\mathrm{c}. \\ $$
Commented by ridwan balatif last updated on 18/Dec/16
$$\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)\equiv\mathrm{ax}^{\mathrm{2}} +\mathrm{bx}+\mathrm{c} \\ $$$$\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{is}\:\mathrm{divisible}\:\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)\rightarrow\mathrm{P}\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{a}\left(\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}\left(\mathrm{1}\right)+\mathrm{c}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=\mathrm{0}…\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{when}\:\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{is}\:\mathrm{divided}\:\mathrm{by}\:\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right),\:\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{has}\:\mathrm{reminder}\:\mathrm{2},\:\mathrm{it}'\mathrm{s}\:\mathrm{means}\:\mathrm{P}\left(−\mathrm{1}\right)=\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{a}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}\left(−\mathrm{1}\right)+\mathrm{c}=\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{a}−\mathrm{b}+\mathrm{c}=\mathrm{2}…\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\mathrm{when}\:\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{is}\:\mathrm{divided}\:\mathrm{by}\:\left(\mathrm{x}−\mathrm{2}\right),\:\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{has}\:\mathrm{reminder}\:\mathrm{8},\:\mathrm{it}'\mathrm{s}\:\mathrm{means}\:\mathrm{P}\left(\mathrm{2}\right)=\mathrm{8} \\ $$$$\mathrm{a}\left(\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}\left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{c}=\mathrm{8} \\ $$$$\mathrm{4a}+\mathrm{2b}+\mathrm{c}=\mathrm{8}…\left(\mathrm{3}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)−\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{a}−\mathrm{b}+\mathrm{c}=\mathrm{2} \\ $$$$−−−−−−\left(−\right) \\ $$$$\mathrm{2b}=−\mathrm{2} \\ $$$$\:\:\:\mathrm{b}=−\mathrm{1}…\ast \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)−\left(\mathrm{3}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{4a}+\mathrm{2b}+\mathrm{c}=\mathrm{8} \\ $$$$−−−−−−−\left(−\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\mathrm{3a}−\mathrm{b}=−\mathrm{8} \\ $$$$−\mathrm{3a}−\left(−\mathrm{1}\right)=−\mathrm{8} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\mathrm{3a}=−\mathrm{7} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{a}=\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{3}}…\ast\ast \\ $$$$\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=\mathrm{0} \\ $$$$\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{3}}+\left(−\mathrm{1}\right)+\mathrm{c}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{c}=−\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}…\ast\ast\ast \\ $$$$\mathrm{so},\:\mathrm{a}=\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{3}},\mathrm{b}=−\mathrm{1},\mathrm{c}=−\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)\equiv\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{3}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}} \\ $$$$ \\ $$