Question Number 140749 by SOMEDAVONG last updated on 12/May/21
$$\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\mathrm{5}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{5}^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)}} \right)=? \\ $$
Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 12/May/21
$$\mathrm{5}^{\frac{\mathrm{1}}{{k}}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{5}^{−\frac{\mathrm{1}}{{k}}+\frac{\mathrm{1}}{{k}+\mathrm{1}}} \right)=\mathrm{5}^{\frac{\mathrm{1}}{{k}}} −\mathrm{5}^{\frac{\mathrm{1}}{{k}+\mathrm{1}}} \\ $$$$\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left(\mathrm{5}^{\frac{\mathrm{1}}{{k}}} −\mathrm{5}^{\frac{\mathrm{1}}{{k}+\mathrm{1}}} \right)=\mathrm{5}−\sqrt{\mathrm{5}}+\sqrt{\mathrm{5}}−\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{5}}+..+\mathrm{5}^{\frac{\mathrm{1}}{{n}}} −\mathrm{5}^{\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}} =\mathrm{5}−\mathrm{5}^{\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}} \\ $$