Question Number 141136 by bobhans last updated on 16/May/21
$$\:\:\:\:{Find}\:{the}\:{smallest}\:{value}\: \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{5}{x}\:+\:\frac{\mathrm{16}}{{x}}\:+\:\mathrm{21}\:{over}\:{positive}\: \\ $$$$\:\:\:{value}\:{of}\:{x}\: \\ $$
Answered by iloveisrael last updated on 16/May/21
$$\:\Rightarrow\:\mathrm{5}{x}\:\&\:\frac{\mathrm{16}}{{x}}\:{have}\:{a}\:{constant}\:{product} \\ $$$$\mathrm{80}\:{hence}\:{the}\:{minimum}\:{is}\:{achieved} \\ $$$${by}\:{equating}\:{these}\:\mathrm{5}{x}\:=\:\frac{\mathrm{16}}{{x}}\:{or} \\ $$$${x}\:=\:\sqrt{\frac{\mathrm{16}}{\mathrm{5}}}\:=\:\frac{\mathrm{4}}{\:\sqrt{\mathrm{5}}}\:.\:{Our}\:{conclusion} \\ $$$${is}\:{that}\:{smallest}\:{value}\:{of}\: \\ $$$$\:\mathrm{5}{x}+\frac{\mathrm{16}}{{x}}\:+\mathrm{21}\:=\:\mathrm{10}{x}\:+\:\mathrm{21}\: \\ $$$$=\:\frac{\mathrm{40}}{\:\sqrt{\mathrm{5}}}\:+\mathrm{21}\:=\:\mathrm{8}\sqrt{\mathrm{5}}\:+\mathrm{21} \\ $$
Answered by EDWIN88 last updated on 16/May/21
$$\mathrm{say}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{5x}+\mathrm{16x}^{−\mathrm{1}} +\mathrm{21} \\ $$$$\:\mathrm{f}\:'\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{5}−\frac{\mathrm{16}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:=\:\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{16}}{\mathrm{5}}\: \\ $$$$\mathrm{since}\:\mathrm{x}\:>\mathrm{0}\:\mathrm{then}\:\mathrm{x}\:=\:\sqrt{\frac{\mathrm{16}}{\mathrm{5}}}\:=\:\frac{\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{5}} \\ $$$$\:\mathrm{minimum}\:\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{5}}\right)=\:\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{5}}\:+\frac{\cancel{\mathrm{16}}\:^{\mathrm{4}} .\mathrm{5}}{\cancel{\mathrm{4}}\sqrt{\mathrm{5}}}\:+\mathrm{21}\:=\:\mathrm{8}\sqrt{\mathrm{5}}\:+\mathrm{21} \\ $$