fjnd-inverse-of-matrix-2-5-1-3-

Question Number 141400 by Raffaqet last updated on 18/May/21

$${fjnd}\:{inverse}\:{of}\:{matrix}\begin{bmatrix}{\mathrm{2}}&{−\mathrm{5}}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{3}}\end{bmatrix} \\ $$

Answered by iloveisrael last updated on 18/May/21

A^(−1) = (1/(6−(−5))) [(( 3 5)),((−1 2)) ] A^(−1) = [((3/11 5/11)),((−1/11 2/11)) ]

$$\:{A}^{−\mathrm{1}} \:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}−\left(−\mathrm{5}\right)}\:\begin{bmatrix}{\:\:\:\:\mathrm{3}\:\:\:\:\:\mathrm{5}}\\{−\mathrm{1}\:\:\:\:\:\mathrm{2}}\end{bmatrix} \\ $$$${A}^{−\mathrm{1}} \:=\:\begin{bmatrix}{\mathrm{3}/\mathrm{11}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{5}/\mathrm{11}}\\{−\mathrm{1}/\mathrm{11}\:\:\:\:\:\mathrm{2}/\mathrm{11}}\end{bmatrix} \\ $$

Answered by EDWIN88 last updated on 18/May/21

Cayley −Hamilton theorem ∣λI−A∣ = 0 ⇒p(λ)=λ^2 −tr .A+ det(A) =0 p(A) = A^2 −5A +11I = 0 ⇒A−5I = −11A^(−1) ⇒A^(−1) = (1/(11)) { (((5 0)),((0 5)) ) − (((2 −5)),((1 3)) ) } ⇒A^(−1) = (1/(11)) ((( 3 5)),((−1 2)) ) ⋇

$$\:\mathrm{Cayley}\:−\mathrm{Hamilton}\:\mathrm{theorem} \\ $$$$\:\mid\lambda\mathrm{I}−\mathrm{A}\mid\:=\:\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{p}\left(\lambda\right)=\lambda^{\mathrm{2}} −\mathrm{tr}\:.\mathrm{A}+\:\mathrm{det}\left(\mathrm{A}\right)\:=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{p}\left(\mathrm{A}\right)\:=\:\mathrm{A}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5A}\:+\mathrm{11I}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{A}−\mathrm{5I}\:=\:−\mathrm{11A}^{−\mathrm{1}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{A}^{−\mathrm{1}} \:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{11}}\:\left\{\:\begin{pmatrix}{\mathrm{5}\:\:\:\:\mathrm{0}}\\{\mathrm{0}\:\:\:\:\mathrm{5}}\end{pmatrix}\:−\:\begin{pmatrix}{\mathrm{2}\:\:\:\:\:\:−\mathrm{5}}\\{\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{3}}\end{pmatrix}\:\right\} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{A}^{−\mathrm{1}} \:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{11}}\:\begin{pmatrix}{\:\:\:\:\mathrm{3}\:\:\:\:\:\mathrm{5}}\\{−\mathrm{1}\:\:\:\:\:\mathrm{2}}\end{pmatrix}\:\divideontimes \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 19/May/21

p_c (A) =det (A−xI)= determinant (((2−x −5)),((1 3−x)))=(2−x)(3−x)+5 =(x−2)(x−3)+5 =x^2 −5x+6 +5 =x^2 −5x +11 cayley hamilton ⇒A^2 −5A +11I =0 ⇒A^2 −5A =−11 I ⇒ −(1/(11))(A^2 −5A) =I ⇒−(1/(11))A×(A−5I)=I ⇒ A^(−1) =−(1/(11))(A−5I)=(1/(11))(5I−A)=(5/(11)) (((1 0)),((0 1)) )−(1/(11)) (((2 −5)),((1 3)) ) = ((((3/(11)) (5/(11)))),((−(1/(11)) (2/(11)))) )

$$\mathrm{p}_{\mathrm{c}} \left(\mathrm{A}\right)\:=\mathrm{det}\:\left(\mathrm{A}−\mathrm{xI}\right)=\begin{vmatrix}{\mathrm{2}−\mathrm{x}\:\:\:\:\:−\mathrm{5}}\\{\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{3}−\mathrm{x}}\end{vmatrix}=\left(\mathrm{2}−\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{3}−\mathrm{x}\right)+\mathrm{5} \\ $$$$=\left(\mathrm{x}−\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)+\mathrm{5}\:=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5x}+\mathrm{6}\:+\mathrm{5}\:=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5x}\:+\mathrm{11} \\ $$$$\mathrm{cayley}\:\mathrm{hamilton}\:\Rightarrow\mathrm{A}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5A}\:+\mathrm{11I}\:=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{A}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5A}\:=−\mathrm{11}\:\mathrm{I}\:\Rightarrow \\ $$$$−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{11}}\left(\mathrm{A}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5A}\right)\:=\mathrm{I}\:\Rightarrow−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{11}}\mathrm{A}×\left(\mathrm{A}−\mathrm{5I}\right)=\mathrm{I}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{A}^{−\mathrm{1}} \:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{11}}\left(\mathrm{A}−\mathrm{5I}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{11}}\left(\mathrm{5I}−\mathrm{A}\right)=\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{11}}\begin{pmatrix}{\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}}\\{\mathrm{0}\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}}\end{pmatrix}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{11}}\begin{pmatrix}{\mathrm{2}\:\:\:\:\:\:\:\:−\mathrm{5}}\\{\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{3}}\end{pmatrix} \\ $$$$=\begin{pmatrix}{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{11}}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{11}}}\\{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{11}}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{11}}}\end{pmatrix} \\ $$

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