Question Number 142085 by Rexzie last updated on 30/May/21
$${Proof}\:{that}\:\mathrm{1}+\mathrm{3}{n}<{n}^{\mathrm{2}} \:{for}\:{every}\:{positive}\:{integer}\:{n}\geqslant\mathrm{4} \\ $$
Answered by MJS_new last updated on 26/May/21
$$\mathrm{it}'\mathrm{s}\:\mathrm{wrong}\:\mathrm{for}\:\frac{\mathrm{3}−\sqrt{\mathrm{13}}}{\mathrm{2}}\leqslant{n}\leqslant\frac{\mathrm{3}+\sqrt{\mathrm{13}}}{\mathrm{2}} \\ $$
Answered by physicstutes last updated on 26/May/21
$$\mathrm{Thesame}\:\mathrm{as}\:\mathrm{proving}\:\mathrm{for}, \\ $$$$\:\mathrm{0}\:<\:{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{n}−\mathrm{1}\: \\ $$$$\mathrm{or}\:{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{n}−\mathrm{1}\:>\:\mathrm{0} \\ $$$$\:\left({n}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{4}}−\mathrm{1}\:>\mathrm{0} \\ $$$$\left({n}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{4}}>\mathrm{0} \\ $$$$\forall\:{n}\:\in\:\mathbb{R},\:\:\left({n}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} \geqslant\:\mathrm{0},\:\:\mathrm{but}\:\:\forall\:{n}\:\in\mathbb{R},\:\nRightarrow\:\:\left({n}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{4}}>\:\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{take}\:\mathrm{the}\:\mathrm{case}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{the}\:\mathrm{interval}\:\mathrm{posted}\:\mathrm{above}. \\ $$