Question Number 132006 by bramlexs22 last updated on 10/Feb/21
$$\:\mathrm{Given}\:\begin{cases}{\sqrt{\mathrm{2}}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{A}=\mathrm{cos}\:\mathrm{B}+\mathrm{cos}\:^{\mathrm{3}} \mathrm{B}}\\{\sqrt{\mathrm{2}}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{A}=\mathrm{sin}\:\mathrm{B}−\mathrm{sin}\:^{\mathrm{3}} \mathrm{B}}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{what}\:\mathrm{is}\:\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{A}−\mathrm{B}\right). \\ $$
Answered by EDWIN88 last updated on 10/Feb/21
$$\:\begin{cases}{\mathrm{2cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{A}=\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{B}+\mathrm{2cos}\:^{\mathrm{4}} \mathrm{B}+\mathrm{cos}\:^{\mathrm{6}} \mathrm{B}}\\{\mathrm{2sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{A}=\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{B}−\mathrm{2sin}\:^{\mathrm{4}} \mathrm{B}+\mathrm{sin}\:^{\mathrm{6}} \mathrm{B}}\end{cases} \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)+\left(\mathrm{2}\right)\Rightarrow\mathrm{2}\:=\:\mathrm{1}+\mathrm{2}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{2B}+\mathrm{cos}\:^{\mathrm{6}} \mathrm{B}+\mathrm{sin}\:^{\mathrm{6}} \mathrm{B} \\ $$$$\Leftrightarrow\:\mathrm{1}\:=\:\mathrm{2cos}\:\mathrm{2B}+\left(\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{B}\right)^{\mathrm{3}} +\left(\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{B}\right)^{\mathrm{3}} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{1}=\mathrm{2cos}\:\mathrm{2B}+\mathrm{1}−\mathrm{3sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{Bcos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{B} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{0}=\mathrm{2cos}\:\mathrm{2B}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\left(\mathrm{2sin}\:\mathrm{Bcos}\:\mathrm{B}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{0}=\mathrm{8cos}\:\mathrm{2B}−\mathrm{3sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{2B} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{0}=\mathrm{8cos}\:\mathrm{2B}−\mathrm{3}\left(\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{2B}\right) \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{3cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{2B}+\mathrm{8cos}\:\mathrm{2B}−\mathrm{3}=\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{3cos}\:\mathrm{2B}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{cos}\:\mathrm{2B}+\mathrm{3}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\:\mathrm{cos}\:\mathrm{2B}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:\Rightarrow\mathrm{2cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{B}=\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}\:;\:\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{B}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{then}\:\sqrt{\mathrm{2}}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{A}=\mathrm{cos}\:\mathrm{B}\left(\mathrm{1}+\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{B}\right)\: \\ $$$$\:\sqrt{\mathrm{2}}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{A}\:=\:\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\:\left(\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{3}}\right)\Rightarrow\mathrm{cos}\:\mathrm{A}=\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}}\:\wedge\mathrm{sin}\:\mathrm{A}=\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}} \\ $$$$\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{A}−\mathrm{B}\right)=\mathrm{sin}\:\mathrm{Acos}\:\mathrm{B}−\mathrm{cos}\:\mathrm{Asin}\:\mathrm{B} \\ $$$$\:=\:\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}}\:\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}}\:\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\:=\:−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{3}×\mathrm{3}}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\ $$