Question Number 143326 by SOMEDAVONG last updated on 13/Jun/21
$$\mathrm{L}=\:\underset{\mathrm{n}\rightarrow+\propto} {\mathrm{lim}}\frac{\left(\mathrm{2}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{3}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{4}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}\right)…\left(\mathrm{n}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{2}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{3}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{4}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}\right)…\left(\mathrm{n}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}\right)} \\ $$
Answered by gsk2684 last updated on 13/Jun/21
$$\frac{\mathrm{n}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}}=\left(\frac{\mathrm{n}−\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\right).\left(\frac{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{n}+\mathrm{1}}\right) \\ $$$$\mathrm{L}=\underset{\mathrm{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}.\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{4}}.\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{5}}.\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{6}}…\frac{\mathrm{n}−\mathrm{2}}{\mathrm{n}−\mathrm{1}}.\frac{\mathrm{n}−\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\right)\left(\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{3}}.\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{7}}.\frac{\mathrm{21}}{\mathrm{13}}.\frac{\mathrm{31}}{\mathrm{21}}…\frac{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{n}+\mathrm{1}}\right) \\ $$$$=\underset{\mathrm{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\left(\frac{\mathrm{1}.\mathrm{2}}{\mathrm{n}−\mathrm{1}.\mathrm{n}+\mathrm{1}}\right)\left(\frac{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\underset{\mathrm{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}} \\ $$