Question Number 78251 by aliesam last updated on 15/Jan/20
$$\int\frac{{x}+\mathrm{4}}{{x}−\sqrt[{\mathrm{3}}]{{x}}}\:{dx}\: \\ $$
Answered by john santu last updated on 15/Jan/20
$${let}\:{x}\:=\:{u}^{\mathrm{3}} \:\Rightarrow{dx}=\mathrm{3}{u}^{\mathrm{2}} \:{du} \\ $$$$\int\:\frac{{u}^{\mathrm{3}} +\mathrm{4}}{{u}^{\mathrm{3}} −{u}}×\mathrm{3}{u}^{\mathrm{2}} \:{du}= \\ $$$$\int\:\frac{\mathrm{3}{u}^{\mathrm{4}} +\mathrm{12}{u}}{{u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\:{du}=\int\:\mathrm{3}{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\:{du}\:+ \\ $$$$\int\:\frac{\mathrm{12}{u}+\mathrm{4}}{{u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\:{du}\:=\:{u}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}{u}\:+\int\frac{\mathrm{4}}{{u}−\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{8}}{{u}+\mathrm{1}}\:{du} \\ $$$$=\:{u}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}{u}+\mathrm{4}{ln}\left({u}−\mathrm{1}\right)+\mathrm{8}{ln}\left({u}+\mathrm{1}\right)+{c} \\ $$$$=\:{x}+\mathrm{3}\:\sqrt[{\mathrm{3}\:}]{{x}}\:+\mathrm{4}{ln}\left(\sqrt[{\mathrm{3}\:}]{{x}}−\mathrm{1}\right)+\mathrm{8}{ln}\left(\sqrt[{\mathrm{3}\:}]{{x}}+\mathrm{1}\right)+{c} \\ $$