Question Number 143860 by mathmax by abdo last updated on 19/Jun/21
$$\mathrm{calculate}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{x}\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \mathrm{log}\left(\mathrm{1}+\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \right)\mathrm{dx} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 20/Jun/21
![Φ=∫_0 ^∞ xe^(−x^2 ) log(1+e^x )dx ⇒Φ=[−(1/2)e^(−x^2 ) log(1+e^x )]_0 ^∞ −∫_0 ^∞ −(1/2)e^(−x^2 ) ×(e^x /(1+e^x ))dx=((log2)/2) +(1/2)∫_0 ^∞ (e^(−x^2 ) /(1+e^(−x) ))dx but ∫_0 ^∞ (e^(−x^2 ) /(1+e^(−x) ))dx =∫_0 ^∞ e^(−x^2 ) Σ_(n=0) ^∞ e^(−nx) dx =Σ_(n=0) ^∞ ∫_0 ^∞ e^(−x^2 −nx) dx =Σ_(n=0) ^∞ ∫_0 ^∞ e^(−(x^2 +2(n/2)x +(n^2 /4)−(n^2 /4))) dx =Σ_(n=0) ^∞ e^(n^2 /4) ∫_0 ^∞ e^(−(x+(n/2))^2 ) dx=Σ_(n=0) ^∞ e^(n^2 /4) ∫_(n/2) ^∞ e^(−z^2 ) dz if we put erf(λ)=∫_λ ^∞ e^(−z^2 ) dz we get ∫_0 ^∞ (e^(−x^2 ) /(1+e^(−x) ))dx =Σ_(n=0) ^∞ e^(n^2 /4) erf((n/2)) ⇒ Φ=((log2)/2)+(1/2)Σ_(n=0) ^∞ erf((n/2))e^(n^2 /4)](https://www.tinkutara.com/question/Q143956.png)
$$\Phi=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{xe}^{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \mathrm{log}\left(\mathrm{1}+\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \right)\mathrm{dx}\:\Rightarrow\Phi=\left[−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \mathrm{log}\left(\mathrm{1}+\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\infty} \\ $$$$−\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } ×\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} }{\mathrm{1}+\mathrm{e}^{\mathrm{x}} }\mathrm{dx}=\frac{\mathrm{log2}}{\mathrm{2}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } }{\mathrm{1}+\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }\mathrm{dx}\:\:\mathrm{but} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } }{\mathrm{1}+\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }\mathrm{dx}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \mathrm{e}^{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{nx}} \mathrm{dx} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{nx}} \mathrm{dx}\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\:+\frac{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}}−\frac{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}}\right)} \:\mathrm{dx} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}}} \:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} } \mathrm{dx}=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}}} \:\int_{\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{2}}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{z}^{\mathrm{2}} } \mathrm{dz} \\ $$$$\mathrm{if}\:\mathrm{we}\:\mathrm{put}\:\mathrm{erf}\left(\lambda\right)=\int_{\lambda} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{z}^{\mathrm{2}} } \mathrm{dz}\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{get}\: \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } }{\mathrm{1}+\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }\mathrm{dx}\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}}} \:\mathrm{erf}\left(\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{2}}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\Phi=\frac{\mathrm{log2}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \mathrm{erf}\left(\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}}} \\ $$