Question Number 78503 by jagoll last updated on 18/Jan/20
$${if}\:{x},{y}\:>\mathrm{1}\: \\ $$$${prove}\:\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{{y}−\mathrm{1}}+\frac{{y}^{\mathrm{2}} }{{x}−\mathrm{1}}\geqslant\mathrm{8} \\ $$
Answered by ~blr237~ last updated on 18/Jan/20
$$\:\mathrm{We}\:\mathrm{know}\:\mathrm{that}\:\mathrm{for}\:\mathrm{all}\:\mathrm{a},\mathrm{b}\in\mathbb{R}\: \\ $$$$\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)^{\mathrm{2}} \geqslant\mathrm{0}\Rightarrow\:\mathrm{2ab}\leqslant\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \:\:\left(\ast\right) \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{take}\:\mathrm{a}=\frac{\mathrm{x}}{\:\sqrt{\mathrm{y}−\mathrm{1}}}\:\mathrm{b}=\frac{\mathrm{y}}{\:\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{1}}}\:\:\: \\ $$$$\mathrm{a},\mathrm{b}\:\mathrm{exist}\:\mathrm{cause}\:\mathrm{x}>\mathrm{1}\:\mathrm{and}\:\mathrm{y}>\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{Then}\:\:\left(\ast\right)\:\mathrm{leads}\:\mathrm{to}\:\:\:\frac{\mathrm{2xy}}{\:\sqrt{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{y}−\mathrm{1}\right)}}\:\leqslant\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{y}−\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\: \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{also}\:\mathrm{have}\: \\ $$$$\mathrm{2}\left(\mathrm{2x}\right)\leqslant\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}\:\Rightarrow\:\mathrm{4}\leqslant\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\:\Rightarrow\mathrm{2}\leqslant\:\frac{\mathrm{x}}{\:\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{1}}}\: \\ $$$$\mathrm{samely}\:\mathrm{we}\:\mathrm{show}\:\mathrm{2}\leqslant\frac{\mathrm{y}}{\:\sqrt{\mathrm{y}−\mathrm{1}}}\: \\ $$$$\mathrm{Finaly}\:\mathrm{we}\:\mathrm{get} \\ $$$$\:\mathrm{8}=\mathrm{2}×\mathrm{2}×\mathrm{2}\leqslant\mathrm{2}\left(\frac{\mathrm{x}}{\:\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{1}}}\right)\left(\frac{\mathrm{y}}{\:\sqrt{\mathrm{y}−\mathrm{1}}}\right)\leqslant\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{y}−\mathrm{1}}\:+\frac{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\: \\ $$$$ \\ $$
Commented by jagoll last updated on 18/Jan/20
$${thanks}\:{you}\:{sir} \\ $$
Answered by behi83417@gmail.com last updated on 18/Jan/20
![let:F(x,y)=(x^2 /(y−1))+(y^2 /(x−1)) (∂F/∂x)=((2x)/(y−1))−(y^2 /((x−1)^2 )),(∂F/∂y)=((−x^2 )/((y−1)^2 ))+((2y)/(x−1)) ⇒ { ((2x(x−1)^2 −y^2 (y−1)=0)),((2y(y−1)^2 −x^2 (x−1)=0)) :}⇒ ⇒ { ((2x^3 −4x^2 +2x−y^3 +y^2 =0 (i))),((2y^3 −4y^2 +2y−x^3 +x^2 =0 (ii))) :} ⇒ { ((x^3 +y^3 −3(x^2 +y^2 )+2(x+y)=0)),((3(x^3 −y^3 )−5(x^2 −y^2 )+2(x−y)=0)) :} ⇒^((x/y)=m) { ((m^3 +1−3(m^2 +1)+2(m+1)=0)),((3(m^3 −1)−5(m^2 −1)+2(m−1)=0)) :} ⇒ { ((m^3 −3m^2 +2m=0)),((3m^3 −5m^2 +2m=0)) :}⇒m=0 ⇒ { ((m^2 −3m+2=0⇒m=1,2)),((3m^2 −5m+2=0⇒m=1,(2/3))) :} m=0⇒x=0[not ok :x>1] 1)m=1⇒x=y⇒2x(x−1)^2 −x^2 (x−1)=0 ⇒(x−1)(x^2 −2x)=0⇒x=2=y⇒F(2,2)=8 2)m=2⇒x=2y⇒4y(2y−1)^2 −y^2 (y−1)=0 ⇒y[16y^2 −16y+4−y^2 +y]=0 ⇒15y^2 −15y+4=0⇒▲=225−16×15<0 3)m=(2/3)⇒x=(2/3)y⇒(4/3)y((2/3)y−1)^2 −y^2 (y−1)=0 ⇒y[16y^2 −48y+36−27y^2 +27y]=0 ⇒11y^2 +21y−36=0⇒▲=21^2 +44×36 ⇒[y=((−21±45)/(22))=((12)/(11)),−3⇒x=(8/(11)),−2] ⇒F((8/(11)),((12)/(11)))=(((144)/(121))/((8/(11))−1))+(((64)/(121))/(((12)/(11))−1))= =((144)/(−33))+((64)/(11))=((64×33−11×144)/(33))=16>8 [(x,y)=(−2,−3) not ok :x,y>1] ⇒mimF=8](https://www.tinkutara.com/question/Q78546.png)
$$\mathrm{let}:\mathrm{F}\left(\mathrm{x},\mathrm{y}\right)=\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{y}−\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{x}−\mathrm{1}} \\ $$$$\frac{\partial\mathrm{F}}{\partial\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{2x}}{\mathrm{y}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} },\frac{\partial\mathrm{F}}{\partial\mathrm{y}}=\frac{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{y}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{2y}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}} \\ $$$$\Rightarrow\begin{cases}{\mathrm{2x}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{y}−\mathrm{1}\right)=\mathrm{0}}\\{\mathrm{2y}\left(\mathrm{y}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)=\mathrm{0}}\end{cases}\Rightarrow \\ $$$$\Rightarrow\begin{cases}{\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}−\mathrm{y}^{\mathrm{3}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0}\:\:\:\left(\mathrm{i}\right)}\\{\mathrm{2y}^{\mathrm{3}} −\mathrm{4y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2y}−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0}\:\:\:\:\left(\mathrm{ii}\right)}\end{cases} \\ $$$$\Rightarrow\begin{cases}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{y}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \right)+\mathrm{2}\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)=\mathrm{0}}\\{\mathrm{3}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{y}^{\mathrm{3}} \right)−\mathrm{5}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \right)+\mathrm{2}\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)=\mathrm{0}}\end{cases} \\ $$$$\overset{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}}=\mathrm{m}} {\Rightarrow}\begin{cases}{\mathrm{m}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}−\mathrm{3}\left(\mathrm{m}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)+\mathrm{2}\left(\mathrm{m}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{0}}\\{\mathrm{3}\left(\mathrm{m}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}\right)−\mathrm{5}\left(\mathrm{m}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)+\mathrm{2}\left(\mathrm{m}−\mathrm{1}\right)=\mathrm{0}}\end{cases} \\ $$$$\Rightarrow\begin{cases}{\mathrm{m}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3m}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2m}=\mathrm{0}}\\{\mathrm{3m}^{\mathrm{3}} −\mathrm{5m}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2m}=\mathrm{0}}\end{cases}\Rightarrow\mathrm{m}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\begin{cases}{\mathrm{m}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3m}+\mathrm{2}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{m}=\mathrm{1},\mathrm{2}}\\{\mathrm{3m}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5m}+\mathrm{2}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{m}=\mathrm{1},\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{m}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{0}\left[\mathrm{not}\:\mathrm{ok}\::\mathrm{x}>\mathrm{1}\right] \\ $$$$\left.\mathrm{1}\right)\mathrm{m}=\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{y}\Rightarrow\mathrm{2x}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}\right)=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{2}=\mathrm{y}\Rightarrow\mathrm{F}\left(\mathrm{2},\mathrm{2}\right)=\mathrm{8} \\ $$$$\left.\mathrm{2}\right)\mathrm{m}=\mathrm{2}\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{2y}\Rightarrow\mathrm{4y}\left(\mathrm{2y}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{y}−\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}\left[\mathrm{16y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{16y}+\mathrm{4}−\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}\right]=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{15y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{15y}+\mathrm{4}=\mathrm{0}\Rightarrow\blacktriangle=\mathrm{225}−\mathrm{16}×\mathrm{15}<\mathrm{0} \\ $$$$\left.\mathrm{3}\right)\mathrm{m}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\Rightarrow\mathrm{x}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\mathrm{y}\Rightarrow\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}\mathrm{y}\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\mathrm{y}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{y}−\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}\left[\mathrm{16y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{48y}+\mathrm{36}−\mathrm{27y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{27y}\right]=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{11y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{21y}−\mathrm{36}=\mathrm{0}\Rightarrow\blacktriangle=\mathrm{21}^{\mathrm{2}} +\mathrm{44}×\mathrm{36} \\ $$$$\Rightarrow\left[\mathrm{y}=\frac{−\mathrm{21}\pm\mathrm{45}}{\mathrm{22}}=\frac{\mathrm{12}}{\mathrm{11}},−\mathrm{3}\Rightarrow\mathrm{x}=\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{11}},−\mathrm{2}\right] \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{F}\left(\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{11}},\frac{\mathrm{12}}{\mathrm{11}}\right)=\frac{\frac{\mathrm{144}}{\mathrm{121}}}{\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{11}}−\mathrm{1}}+\frac{\frac{\mathrm{64}}{\mathrm{121}}}{\frac{\mathrm{12}}{\mathrm{11}}−\mathrm{1}}= \\ $$$$=\frac{\mathrm{144}}{−\mathrm{33}}+\frac{\mathrm{64}}{\mathrm{11}}=\frac{\mathrm{64}×\mathrm{33}−\mathrm{11}×\mathrm{144}}{\mathrm{33}}=\mathrm{16}>\mathrm{8} \\ $$$$\left[\left(\mathrm{x},\mathrm{y}\right)=\left(−\mathrm{2},−\mathrm{3}\right)\:\:\mathrm{not}\:\mathrm{ok}\::\mathrm{x},\mathrm{y}>\mathrm{1}\right] \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{mimF}=\mathrm{8} \\ $$
Answered by MJS last updated on 18/Jan/20
$$\mathrm{let}\:{p},\:\lambda\:>\mathrm{0};\:{x}=\mathrm{1}+{p}\wedge{y}=\mathrm{1}+\lambda{p} \\ $$$$\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{{y}−\mathrm{1}}+\frac{{y}^{\mathrm{2}} }{{x}−\mathrm{1}}<\mathrm{8} \\ $$$$\frac{\left(\lambda^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}\right){p}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\left(\lambda^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right){p}+\lambda+\mathrm{1}}{\lambda{p}}<\mathrm{8} \\ $$$${p}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{2}\left(\lambda^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}\lambda+\mathrm{1}\right)}{\lambda^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}}{p}+\frac{\mathrm{1}}{\lambda^{\mathrm{2}} −\lambda+\mathrm{1}}<\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{let}\:{p}={q}−\frac{\lambda^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}\lambda+\mathrm{1}}{\lambda^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}} \\ $$$${q}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{9}\lambda\left(\lambda−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{\left(\lambda+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\lambda^{\mathrm{2}} −\lambda+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }<\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{but}\:{q}^{\mathrm{2}} >\mathrm{0}\wedge\lambda>\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\mathrm{no}\:\mathrm{solution} \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$$\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{{y}−\mathrm{1}}+\frac{{y}^{\mathrm{2}} }{{x}−\mathrm{1}}<\mathrm{8}\:\mathrm{is}\:\mathrm{wrong} \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$$\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{{y}−\mathrm{1}}+\frac{{y}^{\mathrm{2}} }{{x}−\mathrm{1}}\geqslant\mathrm{8} \\ $$