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Solve-x-2-x-4-1-x-

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Question Number 132150 by mohammad17 last updated on 11/Feb/21
Solve:((∣x+2∣)/(x−4))≤(1/(∣x∣))
$${Solve}:\frac{\mid{x}+\mathrm{2}\mid}{{x}−\mathrm{4}}\leqslant\frac{\mathrm{1}}{\mid{x}\mid} \\ $$
Answered by benjo_mathlover last updated on 11/Feb/21
case(1) x>0 ⇒ ((x+2)/(x−4)) −(1/x)≤0 ((x^2 +2x−x+4)/(x(x−4)))≤0 ; ((x^2 +x+4)/(x(x−4)))≤0 0<x<4 ⇒we get solution 0<x<4 case(2) x≤−2 ⇒((−x−2)/(x−4))+(1/x)≤0 ((−x^2 −2x+x−4)/(x(x−4)))≤0 ; ((−x^2 −x−4)/(x(x−4)))≤0 ((x^2 +x+4)/(x(x−4)))≥0 ; x<0 ∪x>4⇒we get solution x≤−2 case(3) −2≤x<0 ⇒((x+2)/(x−4))+(1/x)≤0 ((x^2 +2x+x−4)/(x(x−4)))≤0 ; ((x^2 +3x−4)/(x(x−4)))≤0 (((x+4)(x−1))/(x(x−4))) ≤0 ; 1≤x< 4 ∪ x ≤−4 no solution therefore solution is x≤−2 ∪ 0< x<4 checking x=−3⇒(1/(−7)) ≤ (1/3) (true) x=3⇒(5/(−1))≤(1/3) (true)
$$\mathrm{case}\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{x}>\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\frac{\mathrm{x}+\mathrm{2}}{\mathrm{x}−\mathrm{4}}\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\leqslant\mathrm{0} \\ $$$$\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}−\mathrm{x}+\mathrm{4}}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}−\mathrm{4}\right)}\leqslant\mathrm{0}\:;\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{4}}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}−\mathrm{4}\right)}\leqslant\mathrm{0} \\ $$$$\:\mathrm{0}<\mathrm{x}<\mathrm{4}\:\Rightarrow\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{0}<\mathrm{x}<\mathrm{4} \\ $$$$\mathrm{case}\left(\mathrm{2}\right)\:\mathrm{x}\leqslant−\mathrm{2}\:\Rightarrow\frac{−\mathrm{x}−\mathrm{2}}{\mathrm{x}−\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\leqslant\mathrm{0} \\ $$$$\:\frac{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{x}−\mathrm{4}}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}−\mathrm{4}\right)}\leqslant\mathrm{0}\:;\:\frac{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}−\mathrm{4}}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}−\mathrm{4}\right)}\leqslant\mathrm{0} \\ $$$$\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{4}}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}−\mathrm{4}\right)}\geqslant\mathrm{0}\:\:;\:\mathrm{x}<\mathrm{0}\:\:\cup\mathrm{x}>\mathrm{4}\Rightarrow\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{x}\leqslant−\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{case}\left(\mathrm{3}\right)\:−\mathrm{2}\leqslant\mathrm{x}<\mathrm{0}\:\Rightarrow\frac{\mathrm{x}+\mathrm{2}}{\mathrm{x}−\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\leqslant\mathrm{0} \\ $$$$\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}+\mathrm{x}−\mathrm{4}}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}−\mathrm{4}\right)}\leqslant\mathrm{0}\:;\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3x}−\mathrm{4}}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}−\mathrm{4}\right)}\leqslant\mathrm{0} \\ $$$$\:\frac{\left(\mathrm{x}+\mathrm{4}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}−\mathrm{4}\right)}\:\leqslant\mathrm{0}\:;\:\mathrm{1}\leqslant\mathrm{x}<\:\mathrm{4}\:\cup\:\mathrm{x}\:\leqslant−\mathrm{4} \\ $$$$\mathrm{no}\:\mathrm{solution}\: \\ $$$$\mathrm{therefore}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{is}\:\mathrm{x}\leqslant−\mathrm{2}\:\cup\:\mathrm{0}<\:\mathrm{x}<\mathrm{4} \\ $$$$\mathrm{checking}\: \\ $$$$\:\mathrm{x}=−\mathrm{3}\Rightarrow\frac{\mathrm{1}}{−\mathrm{7}}\:\leqslant\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:\left(\mathrm{true}\right) \\ $$$$\:\mathrm{x}=\mathrm{3}\Rightarrow\frac{\mathrm{5}}{−\mathrm{1}}\leqslant\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:\left(\mathrm{true}\right)\: \\ $$$$ \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 11/Feb/21
e⇒((∣x+2∣)/(x−4))−(1/(∣x∣))≤0 ⇒((∣x∣∣x+2∣−x+4)/(∣x∣(x−4)))≤0 let hid the absolute value f(x)=((∣x∣∣x+2∣−x+4)/(∣x∣(x−4))) x −∞ −2 0 4 +∞ ∣x∣ −x −x x x ∣x+2∣ −x−2 0 x+2 x+2 x+2 N(x) x^2 +x+4 −x^2 −3x+4 x^2 +x+4 x^2 +x+4 D(x) −x^2 +4x −x^2 +4x x^2 −4x x^2 −4x f(x) ((x^2 +x+4)/(−x^2 +4x)) ((−x^2 −3x+4)/(−x^2 +4x)) ((x^2 +x+4)/(x^2 −4x)) ((x^2 +x+4)/(x^2 −4x)) now its eazy to solve f(x)≤0 following the intervals....
$$\mathrm{e}\Rightarrow\frac{\mid\mathrm{x}+\mathrm{2}\mid}{\mathrm{x}−\mathrm{4}}−\frac{\mathrm{1}}{\mid\mathrm{x}\mid}\leqslant\mathrm{0}\:\Rightarrow\frac{\mid\mathrm{x}\mid\mid\mathrm{x}+\mathrm{2}\mid−\mathrm{x}+\mathrm{4}}{\mid\mathrm{x}\mid\left(\mathrm{x}−\mathrm{4}\right)}\leqslant\mathrm{0}\:\:\mathrm{let}\:\mathrm{hid}\:\mathrm{the}\:\mathrm{absolute}\:\mathrm{value} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mid\mathrm{x}\mid\mid\mathrm{x}+\mathrm{2}\mid−\mathrm{x}+\mathrm{4}}{\mid\mathrm{x}\mid\left(\mathrm{x}−\mathrm{4}\right)} \\ $$$$\mathrm{x}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\infty\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\mathrm{2}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{4}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\infty \\ $$$$\mid\mathrm{x}\mid\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\mathrm{x}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\mathrm{x}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{x} \\ $$$$\mid\mathrm{x}+\mathrm{2}\mid\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\mathrm{x}−\mathrm{2}\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}\:\:\:\:\:\mathrm{x}+\mathrm{2}\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}+\mathrm{2}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}+\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{N}\left(\mathrm{x}\right)\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{x}+\mathrm{4}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}+\mathrm{4}\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{4}\:\:\:\:\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{x}+\mathrm{4} \\ $$$$\mathrm{D}\left(\mathrm{x}\right)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4x}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4x}\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4x}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4x} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{4}}{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4x}}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\frac{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}+\mathrm{4}}{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4x}}\:\:\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{4}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4x}}\:\:\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{x}+\mathrm{4}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4x}} \\ $$$$\mathrm{now}\:\mathrm{its}\:\mathrm{eazy}\:\mathrm{to}\:\mathrm{solve}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\leqslant\mathrm{0}\:\:\mathrm{following}\:\mathrm{the}\:\mathrm{intervals}…. \\ $$

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