Question Number 144402 by rexford last updated on 25/Jun/21
Commented by justtry last updated on 25/Jun/21
Commented by rexford last updated on 27/Jun/21
$${thanks}\:{very}\:{much}\:{for}\:{your}\:{time} \\ $$$${I}\:{am}\:{very}\:{grateful} \\ $$$$ \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 25/Jun/21
$$\Psi=\int\:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \sqrt{\mathrm{27x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{6x}−\mathrm{2}}}\:\Rightarrow \\ $$$$\Delta^{'} \:=\mathrm{3}^{\mathrm{2}} −\mathrm{27}.\left(−\mathrm{2}\right)=\mathrm{9}+\mathrm{54}\:=\mathrm{63}\:\Rightarrow\mathrm{x}_{\mathrm{1}} =\frac{−\mathrm{3}+\sqrt{\mathrm{63}}}{\mathrm{27}} \\ $$$$\mathrm{x}_{\mathrm{2}} =\frac{−\mathrm{3}−\sqrt{\mathrm{63}}}{\mathrm{27}}\:\Rightarrow\Psi=\int\:\:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \sqrt{\mathrm{27}\left(\mathrm{x}−\mathrm{x}_{\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{x}_{\mathrm{2}} \right)}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{27}}}\int\:\:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{x}_{\mathrm{1}} }\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{x}_{\mathrm{2}} }} \\ $$$$=_{\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{x}_{\mathrm{1}} }=\mathrm{t}} \:\:\:\:\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{27}}}\int\:\:\:\frac{\mathrm{2tdt}}{\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{x}_{\mathrm{1}} \right)^{\mathrm{2}} \mathrm{t}\sqrt{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}_{\mathrm{1}} −\mathrm{x}_{\mathrm{2}} }} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{27}}}\int\frac{\mathrm{dt}}{\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{x}_{\mathrm{1}} \right)^{\mathrm{2}} \sqrt{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}_{\mathrm{1}\:} −\mathrm{x}_{\mathrm{2}} }} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{x}_{\mathrm{1}} −\mathrm{x}_{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{63}}}{\mathrm{27}}\:\:\mathrm{so}\:\mathrm{we}\:\mathrm{do}\:\mathrm{the}\:\mathrm{cha7gement}\:\mathrm{t}=\sqrt{\frac{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{63}}}{\mathrm{27}}}\mathrm{shy} \\ $$$$\Rightarrow\Psi=\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{27}}}\int\:\:\:\frac{\lambda_{\mathrm{0}} \mathrm{chy}\:\mathrm{dy}}{\left(\lambda_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}} \:\mathrm{sh}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}\:+\mathrm{x}_{\mathrm{1}} \right)^{\mathrm{2}} \lambda_{\mathrm{0}} \mathrm{chy}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{27}}}\int\:\:\frac{\mathrm{dy}}{\left(\lambda_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}} \:\mathrm{sh}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}\:+\mathrm{x}_{\mathrm{1}} \right)^{\mathrm{2}} }\:\:\:\:\left(\lambda_{\mathrm{0}} =\sqrt{\frac{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{63}}}{\mathrm{27}}}\right) \\ $$$$….\mathrm{be}\:\mathrm{continued}… \\ $$