Question Number 132201 by SOMEDAVONG last updated on 12/Feb/21
$$\mathrm{A}=\underset{{x}\rightarrow\frac{\pi}{\mathrm{2}}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{sin}^{\mathrm{50}} \mathrm{x}+\mathrm{5sin}^{\mathrm{30}} \mathrm{x}−\mathrm{6}}{\mathrm{cos}^{\mathrm{20}} \mathrm{x}+\mathrm{cos}^{\mathrm{40}} \mathrm{2x}−\mathrm{1}} \\ $$
Answered by bemath last updated on 12/Feb/21
Answered by mathmax by abdo last updated on 13/Feb/21
$$\mathrm{let}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{sin}^{\mathrm{50}} \mathrm{x}+\mathrm{5sin}^{\mathrm{30}} \mathrm{x}−\mathrm{6}}{\mathrm{cos}^{\mathrm{20}} \mathrm{x}+\mathrm{cos}^{\mathrm{40}} \mathrm{x}−\mathrm{1}}\:\:\mathrm{changement}\:\mathrm{x}=\frac{\pi}{\mathrm{2}}−\mathrm{t}\:\mathrm{give} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\frac{\pi}{\mathrm{2}}−\mathrm{t}\right)\:=\frac{\mathrm{cos}^{\mathrm{50}} \mathrm{x}+\mathrm{5cos}^{\mathrm{30}} \mathrm{x}−\mathrm{6}}{\mathrm{sin}^{\mathrm{20}} \mathrm{x}+\mathrm{cos}^{\mathrm{40}} \left(\mathrm{2x}\right)−\mathrm{1}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\sim\:\frac{\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{50}} \:+\mathrm{5}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{30}} −\mathrm{6}}{\mathrm{x}^{\mathrm{20}} \:+\left(\mathrm{1}−\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{40}} −\mathrm{1}}\sim\frac{\mathrm{1}−\mathrm{25x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{5}\left(\mathrm{1}−\mathrm{15x}^{\mathrm{2}} \right)−\mathrm{6}}{\mathrm{0}+\mathrm{1}−\mathrm{80x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} \\ $$$$=\frac{−\mathrm{25x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}.\mathrm{15x}^{\mathrm{2}} }{−\mathrm{80x}^{\mathrm{2}} }\:=\frac{\mathrm{25}+\mathrm{5}.\mathrm{15}}{\mathrm{80}}\:=\frac{\mathrm{100}}{\mathrm{80}}\:=\frac{\mathrm{10}}{\mathrm{8}}=\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{4}}\:\Rightarrow\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{4}} \\ $$$$ \\ $$