Question Number 207129 by hardmath last updated on 07/May/24 $$\mathrm{Find}:\:\:\:\:\:\int\:\frac{\mathrm{x}\:+\:\mathrm{4}}{\mathrm{x}\:+\:\mathrm{3}}\:\mathrm{dx}\:=\:? \\ $$ Answered by mathzup last updated on 08/May/24 $$\int\frac{{x}+\mathrm{4}}{{x}+\mathrm{3}}{dx}=\int\frac{{x}+\mathrm{3}+\mathrm{1}}{{x}+\mathrm{3}}{dx}\:=\int{dx}\:+\int\frac{{dx}}{{x}+\mathrm{3}} \\ $$$$={x}+{ln}\mid{x}+\mathrm{3}\mid\:+{c} \\ $$ Terms…
Question Number 207130 by hardmath last updated on 07/May/24 $$\mathrm{Find}:\:\:\:\int\:\frac{\mathrm{x}\:−\:\mathrm{1}}{\mathrm{x}\:−\:\mathrm{2}}\:\mathrm{dx}\:\:=\:\:? \\ $$ Answered by Frix last updated on 07/May/24 $$\int\frac{{x}\pm{a}}{{x}\pm{b}}{dx}=\int{dx}+\left(\pm{a}\mp{b}\right)\int\frac{{dx}}{{x}\pm{b}}= \\ $$$$={x}+\left(\pm{a}\mp{b}\right)\mathrm{ln}\:\mid{x}\pm{b}\mid\:+{C} \\ $$ Commented…
Question Number 207156 by hardmath last updated on 07/May/24 $$\mathrm{Find}:\:\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{sin}\:\mathrm{10}°}\:−\:\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{cos}\:\mathrm{10}°}\:\:=\:\:? \\ $$ Answered by A5T last updated on 07/May/24 $$=\frac{\mathrm{2}{sin}\mathrm{30}}{{sin}\mathrm{10}}−\frac{\mathrm{2}{cos}\mathrm{30}}{{cos}\mathrm{10}}=\frac{\mathrm{2}\left[{sin}\mathrm{30}{cos}\mathrm{10}−{cos}\mathrm{30}{sin}\mathrm{10}\right]}{{sin}\mathrm{10}{cos}\mathrm{10}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}\left[{sin}\left(\mathrm{30}−\mathrm{10}\right)\right]}{{sin}\mathrm{10}{cos}\mathrm{10}}=\frac{\mathrm{4}{sin}\mathrm{20}}{\mathrm{2}{sin}\mathrm{10}{cos}\mathrm{10}={sin}\mathrm{20}}=\mathrm{4} \\ $$ Terms…
Question Number 207157 by hardmath last updated on 07/May/24 $$\mathrm{Find}:\:\:\:\frac{\mathrm{5}\:\mathrm{sin}\:\frac{\pi}{\mathrm{6}}}{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tg}\:\mathrm{75}°}\:\:−\:\:\mathrm{tg}\:\mathrm{75}°}\:\:=\:\:? \\ $$ Answered by A5T last updated on 07/May/24 $$\frac{\mathrm{1}}{{tan}\mathrm{75}}−{tan}\mathrm{75}=\frac{{cos}\mathrm{75}}{{sin}\mathrm{75}}−\frac{{sin}\mathrm{75}}{{cos}\mathrm{75}}=\frac{{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{75}−{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{75}}{{sin}\mathrm{75}{cos}\mathrm{75}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}{cos}\mathrm{150}}{{sin}\mathrm{150}}=\frac{\mathrm{2}\left(\frac{−\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)}{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}=−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}} \\…
Question Number 207127 by hardmath last updated on 07/May/24 $$\mathrm{If}\:\:\:\:\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\:\mathrm{sin}^{\mathrm{4}} \:\mathrm{2x} \\ $$$$\mathrm{Find}\:\:\:\:\:\mathrm{f}\:^{'} \:\left(\frac{\pi}{\mathrm{12}}\right)\:=\:? \\ $$ Answered by Skabetix last updated on 07/May/24 $$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{sin}^{\mathrm{4}} \left(\mathrm{2x}\right)…
Question Number 207154 by Wuji last updated on 07/May/24 $$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{a}\:\mathrm{system}\:\mathrm{made}\:\mathrm{up}\:\mathrm{of}\:\mathrm{two}\:\mathrm{cells} \\ $$$$\mathrm{x}\:\mathrm{and}\:\mathrm{y}.\:\mathrm{Both}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{cell}\:\mathrm{types}\:\mathrm{are} \\ $$$$\mathrm{dividing}\:\mathrm{and}\:\mathrm{dying}.\:\mathrm{X}\:\mathrm{type}\:\mathrm{cells}\:\mathrm{also} \\ $$$$\mathrm{differentiate}\:\mathrm{into}\:\mathrm{Y}\:\mathrm{type}\:\mathrm{cells}.\:\mathrm{The} \\ $$$$\mathrm{dynamics}\:\mathrm{of}\:\mathrm{this}\:\mathrm{system}\:\mathrm{interms}\:\mathrm{of}\:\:\mathrm{size} \\ $$$$\mathrm{of}\:\mathrm{X}\:\mathrm{and}\:\mathrm{Y}\:\mathrm{population}\:\mathrm{is}\:\mathrm{given}\:\mathrm{below}. \\ $$$$\mathrm{calculate}\:\mathrm{the}\:\mathrm{steady}\:\mathrm{state}\:\mathrm{of}\:\mathrm{this}\:\mathrm{system} \\ $$$$\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}=−\mathrm{3x}\:\:\:\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dt}}=\mathrm{2x}−\mathrm{2y} \\…
Question Number 207122 by MATHEMATICSAM last updated on 07/May/24 $$\mathrm{If}\:{e}^{{y}} \left({x}\:+\:\mathrm{1}\right)\:=\:\mathrm{1}\:\mathrm{then}\:\mathrm{prove}\:\mathrm{that} \\ $$$$\frac{{d}^{\mathrm{2}} {y}}{{dx}^{\mathrm{2}} }\:=\:\left(\frac{{dy}}{{dx}}\right)^{\mathrm{2}} . \\ $$ Answered by BaliramKumar last updated on 07/May/24…
Question Number 207150 by Wuji last updated on 07/May/24 $$\mathrm{Expression}\:\mathrm{of}\:\mathrm{protein}\:\mathrm{is}\:\mathrm{controlled} \\ $$$$\mathrm{by}\:\mathrm{an}\:\mathrm{external}\:\mathrm{S}.\:\mathrm{the}\:\mathrm{protein}\:\mathrm{also}\:\mathrm{controls} \\ $$$$\mathrm{its}\:\mathrm{own}\:\mathrm{exprexxion}\:\mathrm{by}\:\mathrm{a}\:\mathrm{negative}\:\mathrm{feedback}. \\ $$$$\mathrm{The}\:\mathrm{fol}<\mathrm{lwing}\:\mathrm{system}\:\mathrm{of}\:\mathrm{ODEs}\:\mathrm{represents} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{dynamics}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{system},\:\mathrm{with} \\ $$$$\mathrm{m}\:\mathrm{and}\:\mathrm{p}\:\mathrm{representing}\:\mathrm{mRNA}\:\mathrm{and} \\ $$$$\mathrm{protein}\:\mathrm{respectively},\:\mathrm{prove}\:\mathrm{that}\:\mathrm{for} \\ $$$$\mathrm{any}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:\mathrm{S}\geqslant\mathrm{0},\:\mathrm{the}\:\mathrm{steady}\:\mathrm{state}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the} \\…
Question Number 207151 by Wuji last updated on 07/May/24 $$\mathrm{Two}\:\mathrm{proteins}\:\left(\mathrm{x}\:\mathrm{and}\:\mathrm{y}\right)\:\mathrm{control}\:\mathrm{each} \\ $$$$\mathrm{other}\:\mathrm{through}\:\mathrm{mutual}\:\mathrm{repression}.\:\mathrm{The} \\ $$$$\mathrm{dynamic}\:\mathrm{model}\:\mathrm{for}\:\mathrm{the}\:\mathrm{system}\:\mathrm{consists} \\ $$$$\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{following}\:\mathrm{system}\:\mathrm{of}\:\mathrm{ODEs}.\: \\ $$$$\mathrm{calculate}\:\mathrm{the}\:\mathrm{steady}\:\mathrm{state}\:\mathrm{values}\:\mathrm{of}\: \\ $$$$\mathrm{these}\:\mathrm{two}\:\mathrm{proteins}.\:\mathrm{comment}\:\mathrm{on}\:\mathrm{the}\: \\ $$$$\mathrm{stability}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{steady}\:\mathrm{state}\:\mathrm{and}\:\mathrm{the}\:\mathrm{type}\:\mathrm{of}\: \\ $$$$\mathrm{phase}\:\mathrm{portrait}\:\mathrm{expected}\:\mathrm{for}\:\mathrm{this}\:\mathrm{system}. \\…
Question Number 207139 by Wuji last updated on 07/May/24 $$ \\ $$$$\mathrm{Two}\:\mathrm{proteins}\:\left(\mathrm{x\&y}\right)\:\mathrm{control}\:\mathrm{each} \\ $$$$\mathrm{other}\:\mathrm{through}\:\mathrm{mutual}\:\mathrm{repression}.\:\mathrm{the} \\ $$$$\mathrm{dynamic}\:\mathrm{model}\:\mathrm{for}\:\mathrm{the}\:\mathrm{system}\:\mathrm{consists}\:\mathrm{of} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{following}\:\mathrm{system}\:\mathrm{of}\:\mathrm{ODEs}. \\ $$$$\mathrm{calculate}\:\mathrm{the}\:\mathrm{steady}\:\mathrm{state}\:\mathrm{values}\:\mathrm{of}\:\mathrm{these}\:\mathrm{two}\:\mathrm{peoteins}.\: \\ $$$$\mathrm{comment}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{stabilityof}\:\mathrm{the}\:\mathrm{steady}\:\mathrm{state} \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{the}\:\mathrm{type}\:\mathrm{of}\:\mathrm{phase}\:\mathrm{of}\:\mathrm{portrait}\:\mathrm{expected}\:\mathrm{foe}\:\mathrm{this} \\…