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Category: Integration

nice-integral-0-1-1-x-ln-m-0-n-x-m-dx-by-MATH-AMIN-

Question Number 165255 by amin96 last updated on 28/Jan/22 $$\boldsymbol{\mathrm{nice}}\:\boldsymbol{\mathrm{integral}} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{\boldsymbol{\mathrm{x}}}\boldsymbol{\mathrm{ln}}\left(\underset{\boldsymbol{\mathrm{m}}=\mathrm{0}} {\overset{\boldsymbol{\mathrm{n}}} {\sum}}\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\boldsymbol{\mathrm{m}}} \right)\boldsymbol{\mathrm{dx}}=? \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$…

Question-by-M-N-July-0-1-ln-1-x-4-x-8-x-dx-x-x-1-2-1-2-0-1-ln-1-x-2-x-4-x-dx-1-2-0-1-ln-1-x-2-1-x-6-x-dx-1-2-0-1-ln-1-x-2-

Question Number 165218 by Lordose last updated on 27/Jan/22 $$\mathrm{Question}\:\mathrm{by}\:\boldsymbol{\mathrm{M}}.\boldsymbol{\mathrm{N}}\:\boldsymbol{\mathrm{July}} \\ $$$$\Phi\:=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}\:+\:\mathrm{x}^{\mathrm{4}} \:+\:\mathrm{x}^{\mathrm{8}} \right)}{\mathrm{x}}\mathrm{dx} \\ $$$$\Phi\:\overset{\mathrm{x}=\mathrm{x}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} } {=}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}^{\mathrm{4}} \right)}{\mathrm{x}}\mathrm{dx} \\…