Category: Others

Question Number 194058 by Mastermind last updated on 27/Jun/23 $$\mathrm{Ques}.\:\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{Let}\:\mathrm{G}\:=\:\mathrm{C}_{\mathrm{5}} \:×\:\mathrm{C}_{\mathrm{25}} \:×\:\mathrm{C}_{\mathrm{625}} .\:\mathrm{Determine} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{number}\:\mathrm{of}\:\mathrm{elements}\:\mathrm{of}\:\mathrm{each}\:\mathrm{order}\:\mathrm{in}\:\mathrm{G} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Ques}.\:\mathrm{2} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{List}\:\mathrm{the}\:\mathrm{abelian}\:\mathrm{groups}\:\mathrm{of}\:\mathrm{order}\:\mathrm{16} \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{of}\:\mathrm{order}\:\mathrm{27}\:\mathrm{up}\:\mathrm{to}\:\mathrm{Isomorphism}.…

Question Number 193960 by pete last updated on 25/Jun/23 $$\mathrm{Prove}\:\mathrm{that}\:\mathrm{sin}^{\mathrm{7}} \theta\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{64}}\left(\mathrm{35sin}\theta\:−\mathrm{21sin3}\theta\right. \\ $$$$+\mathrm{7sin5}\theta−\mathrm{sin7}\theta\:\:\mathrm{using} \\ $$$$\:\mathrm{1}.\:\mathrm{sin}\theta\:=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} −\mathrm{e}^{−\mathrm{i}\theta} }{\mathrm{2i}}\:\mathrm{and}\: \\ $$$$\mathrm{2}.\:\left(\mathrm{cos}\theta+\mathrm{isin}\theta\right)^{\mathrm{n}} \:=\:\mathrm{cos}\:\mathrm{n}\theta+\mathrm{sin}\:\mathrm{n}\theta \\ $$$$ \\ $$ Terms…

Question Number 193921 by Mastermind last updated on 23/Jun/23 $$\mathrm{Show}\:\mathrm{that}\:\mathrm{the}\:\mathrm{kernel}\:\mathrm{of}\:\mathrm{a}\:\mathrm{group}\:\mathrm{homomorhism} \\ $$$$\theta\::\:\mathrm{G}\:\rightarrow\:\mathrm{H}\:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{normal}\:\mathrm{subgroup}. \\ $$$$\mathrm{Hint}:\:\mathrm{Check}\:\mathrm{the}\:\mathrm{existence}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{combination} \\ $$$$\mathrm{g}^{−\mathrm{1}} \mathrm{kg}\:\mathrm{in}\:\mathrm{the}\:\mathrm{kernel}. \\ $$ Terms of Service Privacy Policy Contact:…

Question Number 193893 by Mastermind last updated on 22/Jun/23 $$\mathrm{Ques}.\:\mathrm{11} \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{Let}\:\left\{\mathrm{H}_{\alpha} \right\}\:\in\:\Omega\:\mathrm{be}\:\mathrm{a}\:\mathrm{family}\:\mathrm{of}\:\mathrm{subgroup}\:\mathrm{of} \\ $$$$\mathrm{a}\:\mathrm{group}\:\mathrm{G}\:\mathrm{then}\:\mathrm{prove}\:\mathrm{that}\:\underset{\alpha=\Omega} {\cap}\mathrm{H}_{\alpha} \:\mathrm{is}\:\mathrm{also}\:\mathrm{a} \\ $$$$\mathrm{subgroup} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Ques}.\:\mathrm{12}\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{Using}\:\mathrm{GAP},\:\mathrm{find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{elements}\:\mathrm{A},\:\mathrm{B}\:\mathrm{and}\:…

Question Number 193871 by Mastermind last updated on 21/Jun/23 $$\mathrm{Ques}.\:\mathrm{8}\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{Find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{signum}\:\left(\mathrm{sign}\:\mathrm{or}\:\mathrm{sgn}\right)\:\mathrm{of}\:\mathrm{the} \\ $$$$\mathrm{permutation}\:\theta=\left(\mathrm{12345678}\right). \\ $$$$\mathrm{Hint}\::\:\mathrm{for}\:\mathrm{any}\:\mathrm{permutation}\:\beta,\:\mathrm{take} \\ $$$$\mathrm{sgn}\:\beta\:=\:\left\{_{−\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{if}\:\beta\:\mathrm{is}\:\mathrm{odd}} ^{\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{if}\:\beta\:\mathrm{is}\:\mathrm{even}} \right. \\ $$$$ \\ $$$$ \\…