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Question Number 100178 by bobhans last updated on 25/Jun/20

what is the number of ordered pairs of positif integers (x,y) that satisfy x^2 +y^2 −xy=37

$$\mathrm{what}\:\mathrm{is}\:\mathrm{the}\:\mathrm{number}\:\mathrm{of}\:\mathrm{ordered}\:\mathrm{pairs}\:\mathrm{of}\:\mathrm{positif}\: \\ $$$$\mathrm{integers}\:\left(\mathrm{x},\mathrm{y}\right)\:\mathrm{that}\:\mathrm{satisfy}\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{xy}=\mathrm{37} \\ $$

Answered by 1549442205 last updated on 25/Jun/20

x^2 −xy+y^2 −37=0.We look at it like a quadratic equation respect with x.Then Δ=y^2 −4y^2 +148=−3y^2 +148.The above eqs.always has roots ,so Δ=−3y^2 +148≥0 ⇒y^2 ≤((148)/3).Since y∈N^(∗ ) ,y∈{1,2,...,7}. i)If y∈{1,2,5,6}then Δ∈{145,136,73,40} aren′t perfect numbers,so are rejected ii)for y=3⇒Δ=121=11^2 ⇒x=((3+11)/2)=7(we reject negative root) we get the root (x,y)=(7;3) iii)for y=4 ⇒Δ=100=10^2 ⇒x=((4+10)/2)=7 we get the root (x;y)=(7;4) iv)for y=7 ⇒Δ=1⇒x=((7±1)/2)⇒x∈{4;3} we get two roots (x;y)∈{(4;7);(3;7)} Thus ,the given equation has four roots (x;y)∈{(7;3);(7;4);(3;7);(4;7)}

$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{xy}+\mathrm{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{37}=\mathrm{0}.\mathrm{We}\:\mathrm{look}\:\mathrm{at}\:\mathrm{it}\:\mathrm{like}\:\mathrm{a} \\ $$$$\mathrm{quadratic}\:\mathrm{equation}\:\mathrm{respect}\:\mathrm{with}\:\mathrm{x}.\mathrm{Then} \\ $$$$\Delta=\mathrm{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{148}=−\mathrm{3y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{148}.\mathrm{The}\:\mathrm{above} \\ $$$$\mathrm{eqs}.\mathrm{always}\:\mathrm{has}\:\mathrm{roots}\:,\mathrm{so}\:\Delta=−\mathrm{3y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{148}\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \leqslant\frac{\mathrm{148}}{\mathrm{3}}.\mathrm{Since}\:\mathrm{y}\in\mathbb{N}^{\ast\:} ,\mathrm{y}\in\left\{\mathrm{1},\mathrm{2},...,\mathrm{7}\right\}. \\ $$$$\left.\mathrm{i}\right)\mathrm{If}\:\mathrm{y}\in\left\{\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{5},\mathrm{6}\right\}\mathrm{then}\:\Delta\in\left\{\mathrm{145},\mathrm{136},\mathrm{73},\mathrm{40}\right\} \\ $$$$\mathrm{aren}'\mathrm{t}\:\mathrm{perfect}\:\mathrm{numbers},\mathrm{so}\:\mathrm{are}\:\mathrm{rejected} \\ $$$$\left.\mathrm{ii}\right)\mathrm{for}\:\mathrm{y}=\mathrm{3}\Rightarrow\Delta=\mathrm{121}=\mathrm{11}^{\mathrm{2}} \Rightarrow\mathrm{x}=\frac{\mathrm{3}+\mathrm{11}}{\mathrm{2}}=\mathrm{7}\left(\mathrm{we}\:\mathrm{reject}\:\mathrm{negative}\:\mathrm{root}\right) \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{the}\:\mathrm{root}\:\left(\mathrm{x},\mathrm{y}\right)=\left(\mathrm{7};\mathrm{3}\right) \\ $$$$\left.\mathrm{iii}\right)\mathrm{for}\:\mathrm{y}=\mathrm{4}\:\Rightarrow\Delta=\mathrm{100}=\mathrm{10}^{\mathrm{2}} \Rightarrow\mathrm{x}=\frac{\mathrm{4}+\mathrm{10}}{\mathrm{2}}=\mathrm{7} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{the}\:\mathrm{root}\:\left(\mathrm{x};\mathrm{y}\right)=\left(\mathrm{7};\mathrm{4}\right) \\ $$$$\left.\mathrm{iv}\right)\mathrm{for}\:\mathrm{y}=\mathrm{7}\:\Rightarrow\Delta=\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{x}=\frac{\mathrm{7}\pm\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\Rightarrow\mathrm{x}\in\left\{\mathrm{4};\mathrm{3}\right\} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{two}\:\mathrm{roots}\:\left(\mathrm{x};\mathrm{y}\right)\in\left\{\left(\mathrm{4};\mathrm{7}\right);\left(\mathrm{3};\mathrm{7}\right)\right\} \\ $$$$\mathrm{Thus}\:,\mathrm{the}\:\mathrm{given}\:\mathrm{equation}\:\mathrm{has}\:\mathrm{four}\:\mathrm{roots} \\ $$$$\left(\boldsymbol{\mathrm{x}};\boldsymbol{\mathrm{y}}\right)\in\left\{\left(\mathrm{7};\mathrm{3}\right);\left(\mathrm{7};\mathrm{4}\right);\left(\mathrm{3};\mathrm{7}\right);\left(\mathrm{4};\mathrm{7}\right)\right\} \\ $$

Commented by bemath last updated on 25/Jun/20

how with (4,−3),(−4,3),(3,−4),(−3,4)?

$$\mathrm{how}\:\mathrm{with}\:\left(\mathrm{4},−\mathrm{3}\right),\left(−\mathrm{4},\mathrm{3}\right),\left(\mathrm{3},−\mathrm{4}\right),\left(−\mathrm{3},\mathrm{4}\right)? \\ $$

Commented by 1549442205 last updated on 25/Jun/20

your problem require to find the pairs of positive integers

$$\mathrm{your}\:\mathrm{problem}\:\:\mathrm{require}\:\mathrm{to}\:\mathrm{find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{pairs}\:\mathrm{of}\: \\ $$$$\mathrm{positive}\:\mathrm{integers} \\ $$

Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 25/Jun/20

A Novel Method_(−) x^2 +y^2 −xy=37 (x−y)^2 =37−xy............A (x+y)^2 =37+3xy............B x,y∈Z^+ ∧ 37−xy is perfect square 37−xy=36,25,16,9,4,1(possible values) xy=1,12,21,28,33,36 From above values of xy acceptable values are those for which 37+3xy is also perfect square are 21 & 28 When xy=21 A⇒x−y=4 (assume x≥y) B⇒x+y=10 x=7,y=3 (or x=3,y=7 due to symmetry) When xy=28 A⇒x−y=3 B⇒x+y=11 x=7,y=4 (or x=4,y=7 due to symmetry) (7,3),(3,7),(7,4),(4,7)

$$\underset{−} {\mathrm{A}\:\mathrm{Novel}\:\mathrm{Method}} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{xy}=\mathrm{37} \\ $$$$\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{37}−\mathrm{xy}............\mathrm{A} \\ $$$$\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{37}+\mathrm{3xy}............\mathrm{B} \\ $$$$\mathrm{x},\mathrm{y}\in\mathbb{Z}^{+} \:\wedge\:\mathrm{37}−\mathrm{xy}\:\mathrm{is}\:\mathrm{perfect}\:\mathrm{square} \\ $$$$\mathrm{37}−\mathrm{xy}=\mathrm{36},\mathrm{25},\mathrm{16},\mathrm{9},\mathrm{4},\mathrm{1}\left(\mathrm{possible}\:\mathrm{values}\right) \\ $$$$\mathrm{xy}=\mathrm{1},\mathrm{12},\mathrm{21},\mathrm{28},\mathrm{33},\mathrm{36} \\ $$$$\mathrm{From}\:\mathrm{above}\:\mathrm{values}\:\mathrm{of}\:\mathrm{xy}\:\mathrm{acceptable} \\ $$$$\mathrm{values}\:\mathrm{are}\:\mathrm{those}\:\mathrm{for}\:\mathrm{which}\:\mathrm{37}+\mathrm{3xy} \\ $$$$\mathrm{is}\:\mathrm{also}\:\mathrm{perfect}\:\mathrm{square}\:\mathrm{are}\:\mathrm{21}\:\&\:\mathrm{28} \\ $$$$\mathrm{When}\:\mathrm{xy}=\mathrm{21} \\ $$$$\mathrm{A}\Rightarrow\mathrm{x}−\mathrm{y}=\mathrm{4}\:\left(\mathrm{assume}\:\mathrm{x}\geqslant\mathrm{y}\right) \\ $$$$\mathrm{B}\Rightarrow\mathrm{x}+\mathrm{y}=\mathrm{10} \\ $$$$\mathrm{x}=\mathrm{7},\mathrm{y}=\mathrm{3}\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\left(\mathrm{or}\:\mathrm{x}=\mathrm{3},\mathrm{y}=\mathrm{7}\:\mathrm{due}\:\mathrm{to}\:\mathrm{symmetry}\right) \\ $$$$\mathrm{When}\:\mathrm{xy}=\mathrm{28} \\ $$$$\mathrm{A}\Rightarrow\mathrm{x}−\mathrm{y}=\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{B}\Rightarrow\mathrm{x}+\mathrm{y}=\mathrm{11} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}=\mathrm{7},\mathrm{y}=\mathrm{4} \\ $$$$\:\left(\mathrm{or}\:\mathrm{x}=\mathrm{4},\mathrm{y}=\mathrm{7}\:\mathrm{due}\:\mathrm{to}\:\mathrm{symmetry}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{7},\mathrm{3}\right),\left(\mathrm{3},\mathrm{7}\right),\left(\mathrm{7},\mathrm{4}\right),\left(\mathrm{4},\mathrm{7}\right) \\ $$

Commented by mr W last updated on 25/Jun/20

nice solution sir!

$${nice}\:{solution}\:{sir}! \\ $$

Commented by bobhans last updated on 26/Jun/20

thank you sir

$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir} \\ $$

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