Question Number 100666 by bobhans last updated on 28/Jun/20 | ||
$$\mathrm{find}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{set}\:\mathrm{of}\:\mathrm{inequality} \\ $$ $$\left(\mathrm{log}\:_{\mathrm{2}} {x}\:−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{3}{x}−\mathrm{1}} \:<\:\left(\mathrm{log}\:_{\mathrm{2}} {x}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{3}−{x}} \\ $$ | ||
Commented byRasheed.Sindhi last updated on 28/Jun/20 | ||
$$\left(\mathrm{log}\:_{\mathrm{2}} {x}\:−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{3}{x}−\mathrm{1}} \:<\:\left(\mathrm{log}\:_{\mathrm{2}} {x}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{3}−{x}} \\ $$ $$\mathrm{log}\:_{\mathrm{2}} {x}\:−\mathrm{2}\neq\mathrm{0},\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{3}{x}−\mathrm{1}<\mathrm{3}−{x} \\ $$ $$\Rightarrow\mathrm{4}{x}<\mathrm{4}\Rightarrow{x}<\mathrm{1} \\ $$ | ||
Commented bybramlex last updated on 28/Jun/20 | ||
$${i}\:{think}\:{not}\:{correct}\:{sir} \\ $$ | ||
Commented byRasheed.Sindhi last updated on 28/Jun/20 | ||
$${You}'{re}\:{right}\:{sir}! \\ $$ | ||
Answered by bramlex last updated on 28/Jun/20 | ||
$$\Leftrightarrow\left(\mathrm{log}\:_{\mathrm{2}} {x}−\mathrm{2}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{3}{x}−\mathrm{1}−\left(\mathrm{3}−{x}\right)\right)<\mathrm{0} \\ $$ $$\left(\mathrm{log}\:_{\mathrm{2}} {x}−\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{4}{x}−\mathrm{4}\right)<\mathrm{0}\: \\ $$ $$\mathrm{4}\left(\mathrm{log}\:_{\mathrm{2}} {x}−\mathrm{3}\right)\left({x}−\mathrm{1}\right)\:<\mathrm{0} \\ $$ $${case}\:\mathrm{1}\:\Rightarrow\:\mathrm{log}\:_{\mathrm{2}} {x}−\mathrm{3}<\mathrm{0}\:\wedge\:{x}−\mathrm{1}>\mathrm{0} \\ $$ $${x}<\mathrm{8}\:\wedge{x}>\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{1}<{x}<\mathrm{8} \\ $$ $${case}\:\mathrm{2}\:\Rightarrow\:\mathrm{log}\:_{\mathrm{2}} {x}−\mathrm{3}>\mathrm{0}\:\wedge\:{x}−\mathrm{1}<\mathrm{0} \\ $$ $${x}\:>\mathrm{8}\:\wedge\:{x}<\mathrm{1}\:\Rightarrow{x}\:=\:\varnothing \\ $$ $${solution}\:\left(\mathrm{1}\right)\cup\left(\mathrm{2}\right)\:\Rightarrow\:\mathrm{1}\:<\:{x}\:<\:\mathrm{8}\: \\ $$ | ||
Commented bybemath last updated on 28/Jun/20 | ||
$$\mathrm{sir}\:\mathrm{bramlex}\:\mathrm{it}\:\mathrm{should}\:\mathrm{be}\:\left(\mathrm{log}\:_{\mathrm{2}} {x}−\mathrm{2}−\mathrm{1}\right) \\ $$ $${not}\:\left(\mathrm{log}\:_{\mathrm{2}} {x}−\mathrm{2}+\mathrm{1}\right) \\ $$ | ||
Commented bybramlex last updated on 28/Jun/20 | ||
$${oo}\:{yes}..{your}\:{are}\:{right} \\ $$ | ||
Answered by 1549442205 last updated on 28/Jun/20 | ||
$$ \\ $$ $$\mathrm{the}\:\mathrm{condition}\:\mathrm{for}\:\mathrm{the}\:\mathrm{given}\:\mathrm{inequality}\: \\ $$ $$\mathrm{is}\:\mathrm{defined}\:\mathrm{as\begin{cases}{\mathrm{x}>\mathrm{0}}\\{\mathrm{log}_{\mathrm{2}} \mathrm{x}−\mathrm{2}>\mathrm{0}}\end{cases}}\:\:\Leftrightarrow\mathrm{x}>\mathrm{4}.\mathrm{Then} \\ $$ $$\mathrm{The}\:\mathrm{given}\:\mathrm{inequality}\:\mathrm{is}\:\mathrm{equivalent}\:\mathrm{to} \\ $$ $$\left[\mathrm{log}_{\mathrm{2}} \mathrm{x}−\mathrm{2}−\mathrm{1}\right)\left[\left(\mathrm{3x}−\mathrm{1}\right)−\left(\mathrm{3}−\mathrm{x}\right)\right]<\mathrm{0} \\ $$ $$\Leftrightarrow\left(\mathrm{log}_{\mathrm{2}} \mathrm{x}−\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{4x}−\mathrm{4}\right)<\mathrm{0}\Leftrightarrow\left(\mathrm{log}_{\mathrm{2}} \mathrm{x}−\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)<\mathrm{0} \\ $$ $$\Leftrightarrow\left[_{\begin{cases}{\mathrm{log}_{\mathrm{2}} \mathrm{x}−\mathrm{3}<\mathrm{0}}\\{\mathrm{x}−\mathrm{1}>\mathrm{0}}\end{cases}\:\:\Leftrightarrow\begin{cases}{\mathrm{4}<\mathrm{x}<\mathrm{8}}\\{\mathrm{x}>\mathrm{1}}\end{cases}\:\:\:\Leftrightarrow\mathrm{4}<\mathrm{x}<\mathrm{8}} ^{\begin{cases}{\mathrm{log}_{\mathrm{2}} \mathrm{x}−\mathrm{3}>\mathrm{0}}\\{\mathrm{x}−\mathrm{1}<\mathrm{0}}\end{cases}\:\:\Leftrightarrow\begin{cases}{\mathrm{x}>\mathrm{8}}\\{\mathrm{x}<\mathrm{1}}\end{cases}\:\:\:\Rightarrow\mathrm{has}\:\mathrm{no}\:\mathrm{solutions}} \right. \\ $$ $$\mathrm{Thus},\mathrm{solution}\:\mathrm{set}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{inequality}\:\mathrm{is} \\ $$ $$\mathrm{the}\:\mathrm{interval}\:\left(\mathrm{4},\mathrm{8}\right) \\ $$ $$ \\ $$ | ||