Question Number 101363 by bemath last updated on 02/Jul/20
![The solution set of inequality (((√((3x−7)^2 ))−2)/(x−3)) ≤ ((3−(√x^2 ))/(x−3)) is __ (A) (−∞, (1/2)] (D) [(1/2), ∞) (B) [(1/2),1 ] (E) (−∞,(2/3)] (C) (−∞,1 ]](Q101363.png)
$$\mathrm{The}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{set}\:\mathrm{of}\:\mathrm{inequality} \\ $$$$\frac{\sqrt{\left(\mathrm{3x}−\mathrm{7}\right)^{\mathrm{2}} }−\mathrm{2}}{\mathrm{x}−\mathrm{3}}\:\leqslant\:\frac{\mathrm{3}−\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{x}−\mathrm{3}}\:\mathrm{is}\:\_\_ \\ $$$$\left(\mathrm{A}\right)\:\left(−\infty,\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right]\:\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{D}\right)\:\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}},\:\infty\right) \\ $$$$\left(\mathrm{B}\right)\:\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}},\mathrm{1}\:\right]\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{E}\right)\:\left(−\infty,\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right] \\ $$$$\left(\mathrm{C}\right)\:\left(−\infty,\mathrm{1}\:\right]\: \\ $$
Answered by 1549442205 last updated on 02/Jul/20
![⇔((∣3x−7∣−2)/(x−3))−((3−∣x∣)/(x−3))≤0(1) i)if x≥(7/3) then (1)⇔((3x−7−2−(3−x))/(x−3))≤0 ⇔((4x−12)/(x−3))≤0⇔((4(x−3))/(x−3))≤0⇔4≤0 ⇒(1) has no solutions ii)if 0≤x<(7/3) then (1)⇔((7−3x−2−(3−x))/(x−3)) ⇔((2−2x)/(x−3))≤0⇔((1−x)/(x−3))≤0⇔x∈{(−∞;1]∪(3;+∞)}∩[0;(7/3)) ⇔x∈[0;1] iii)if x<0 then (1)⇔((7−3x−2−(3+x))/(x−3))≤0 ⇔((2−4x)/(x−3))≤0⇔((1−2x)/(x−3))≤0⇔(−∞;(1/2)]∪(3;+∞)∩(−∞;0) ⇔(−∞;0) Combinating three above cases we get The solutions of given inequality is x∈(−∞;1],so choose answer C](Q101367.png)
$$\Leftrightarrow\frac{\mid\mathrm{3x}−\mathrm{7}\mid−\mathrm{2}}{\mathrm{x}−\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{3}−\mid\mathrm{x}\mid}{\mathrm{x}−\mathrm{3}}\leqslant\mathrm{0}\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\left.\mathrm{i}\right)\mathrm{if}\:\:\mathrm{x}\geqslant\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{3}}\:\mathrm{then}\:\left(\mathrm{1}\right)\Leftrightarrow\frac{\mathrm{3x}−\mathrm{7}−\mathrm{2}−\left(\mathrm{3}−\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}−\mathrm{3}}\leqslant\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\frac{\mathrm{4x}−\mathrm{12}}{\mathrm{x}−\mathrm{3}}\leqslant\mathrm{0}\Leftrightarrow\frac{\mathrm{4}\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)}{\mathrm{x}−\mathrm{3}}\leqslant\mathrm{0}\Leftrightarrow\mathrm{4}\leqslant\mathrm{0}\: \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{has}\:\mathrm{no}\:\mathrm{solutions} \\ $$$$\left.\mathrm{ii}\right)\mathrm{if}\:\:\mathrm{0}\leqslant\mathrm{x}<\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{3}}\:\mathrm{then}\:\left(\mathrm{1}\right)\Leftrightarrow\frac{\mathrm{7}−\mathrm{3x}−\mathrm{2}−\left(\mathrm{3}−\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}−\mathrm{3}} \\ $$$$\Leftrightarrow\frac{\mathrm{2}−\mathrm{2x}}{\mathrm{x}−\mathrm{3}}\leqslant\mathrm{0}\Leftrightarrow\frac{\mathrm{1}−\mathrm{x}}{\mathrm{x}−\mathrm{3}}\leqslant\mathrm{0}\Leftrightarrow\mathrm{x}\in\left\{\left(−\infty;\mathrm{1}\right]\cup\left(\mathrm{3};+\infty\right)\right\}\cap\left[\mathrm{0};\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{3}}\right) \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{x}\in\left[\mathrm{0};\mathrm{1}\right] \\ $$$$\left.\mathrm{iii}\right)\mathrm{if}\:\:\mathrm{x}<\mathrm{0}\:\mathrm{then}\:\left(\mathrm{1}\right)\Leftrightarrow\frac{\mathrm{7}−\mathrm{3x}−\mathrm{2}−\left(\mathrm{3}+\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}−\mathrm{3}}\leqslant\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\frac{\mathrm{2}−\mathrm{4x}}{\mathrm{x}−\mathrm{3}}\leqslant\mathrm{0}\Leftrightarrow\frac{\mathrm{1}−\mathrm{2x}}{\mathrm{x}−\mathrm{3}}\leqslant\mathrm{0}\Leftrightarrow\left(−\infty;\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right]\cup\left(\mathrm{3};+\infty\right)\cap\left(−\infty;\mathrm{0}\right) \\ $$$$\Leftrightarrow\left(−\infty;\mathrm{0}\right) \\ $$$$\mathrm{Combinating}\:\mathrm{three}\:\:\mathrm{above}\:\mathrm{cases}\:\mathrm{we}\:\mathrm{get} \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{The}}\:\boldsymbol{\mathrm{solutions}}\:\boldsymbol{\mathrm{of}}\:\boldsymbol{\mathrm{given}}\:\boldsymbol{\mathrm{inequality}}\:\boldsymbol{\mathrm{is}}\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{x}}\in\left(−\infty;\mathrm{1}\right],\boldsymbol{\mathrm{so}}\:\boldsymbol{\mathrm{choose}}\:\boldsymbol{\mathrm{answer}}\:\boldsymbol{\mathrm{C}} \\ $$
Commented by 1549442205 last updated on 02/Jul/20
$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{you}.\mathrm{You}\:\mathrm{are}\:\mathrm{welcome}\:\mathrm{sir}. \\ $$
Commented by bemath last updated on 02/Jul/20
$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you}.\:\mathrm{agree} \\ $$
Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 02/Jul/20
$$\Leftrightarrow\frac{\mid\mathrm{3x}−\mathrm{7}\mid−\mathrm{2}}{\mathrm{x}−\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{3}−\mid\mathrm{x}\mid}{\mathrm{x}−\mathrm{3}}\leqslant\mathrm{0}\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\left.\mathrm{i}\right)\mathrm{if}\:\:\mathrm{x}\geqslant\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{3}}\:\mathrm{then}\:\left(\mathrm{1}\right)\Leftrightarrow\frac{\mathrm{3x}−\mathrm{7}−\mathrm{2}−\left(\mathrm{3}−\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}−\mathrm{3}}\leqslant\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\frac{\mathrm{4x}−\mathrm{12}}{\mathrm{x}−\mathrm{3}}\leqslant\mathrm{0}\Leftrightarrow\frac{\mathrm{4}\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)}{\mathrm{x}−\mathrm{3}}\leqslant\mathrm{0}\Leftrightarrow\mathrm{4}\leqslant\mathrm{0}\: \\ $$$${At}\:{x}=\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{3}},\frac{\mathrm{4}\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)}{\mathrm{x}−\mathrm{3}}\leqslant\mathrm{0}\nRightarrow\mathrm{4}\leqslant\mathrm{0} \\ $$$${But}\:{x}=\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{3}},\frac{\mathrm{4}\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)}{\mathrm{x}−\mathrm{3}}\leqslant\mathrm{0}\nRightarrow\mathrm{4}\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\because\:\mathrm{x}−\mathrm{3}<\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{has}\:\mathrm{no}\:\mathrm{solutions} \\ $$$$\left.\mathrm{ii}\right)\mathrm{if}\:\:\mathrm{0}\leqslant\mathrm{x}<\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{3}}\:\mathrm{then}\:\left(\mathrm{1}\right)\Leftrightarrow\frac{\mathrm{7}−\mathrm{3x}−\mathrm{2}−\left(\mathrm{3}−\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}−\mathrm{3}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:..................... \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:.......... \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:..... \\ $$