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Question Number 1018 by prakash jain last updated on 15/May/15

Find tan θ+2tan 2θ+2^2 tan 2^2 θ+...+2^n tan 2^n θ

$$\mathrm{Find} \\ $$$$\mathrm{tan}\:\theta+\mathrm{2tan}\:\mathrm{2}\theta+\mathrm{2}^{\mathrm{2}} \mathrm{tan}\:\mathrm{2}^{\mathrm{2}} \theta+...+\mathrm{2}^{{n}} \mathrm{tan}\:\mathrm{2}^{{n}} \theta \\ $$

Answered by prakash jain last updated on 16/May/15

f(x)=tan x+2tan 2x+...+2^n tan 2^n x ∫f(x)dx=−ln (cos x cos 2x ...cos 2^n x)+C cos x cos 2x ...cos 2^n x=((sin xcos xcos 2x...cos 2^(nx) )/(sin x)) =((sin 2^(n+1) x)/(2^(n+1) sin x)) ∫f(x)dx=ln 2^(n+1) +ln sin x−ln sin 2^(n+1) x+C f(x)=((cos x)/(sin x))−((2^(n+1) cos 2^(n+1) x)/(sin 2^(n+1) x)) f(x)=cot x−2^(n+1) cot 2^(n+1) x

$${f}\left({x}\right)=\mathrm{tan}\:{x}+\mathrm{2tan}\:\mathrm{2}{x}+...+\mathrm{2}^{{n}} \mathrm{tan}\:\mathrm{2}^{{n}} {x} \\ $$$$\int{f}\left({x}\right){dx}=−\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{cos}\:{x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}\:...\mathrm{cos}\:\mathrm{2}^{{n}} {x}\right)+{C} \\ $$$$\mathrm{cos}\:{x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}\:...\mathrm{cos}\:\mathrm{2}^{{n}} {x}=\frac{\mathrm{sin}\:{x}\mathrm{cos}\:{x}\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}...\mathrm{cos}\:\mathrm{2}^{{nx}} }{\mathrm{sin}\:{x}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} {x}}{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} \mathrm{sin}\:{x}} \\ $$$$\int{f}\left({x}\right){dx}=\mathrm{ln}\:\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} +\mathrm{ln}\:\mathrm{sin}\:{x}−\mathrm{ln}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} {x}+{C} \\ $$$${f}\left({x}\right)=\frac{\mathrm{cos}\:{x}}{\mathrm{sin}\:{x}}−\frac{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} \mathrm{cos}\:\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} {x}}{\mathrm{sin}\:\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} {x}} \\ $$$${f}\left({x}\right)=\mathrm{cot}\:{x}−\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} \mathrm{cot}\:\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} {x} \\ $$

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