Question Number 101977 by Ar Brandon last updated on 05/Jul/20
$$\mathrm{Given}\:\mathrm{2}\:\mathrm{functions},\:\mathrm{f}\:\mathrm{and}\:\mathrm{g},\:\mathrm{n}-\mathrm{times}\:\mathrm{derivable}\:\mathrm{within} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{open}\:\mathrm{interval},\:\mathbb{R}\:\mathrm{and}\:\mathrm{verify}\:\mathrm{the}\:\mathrm{property} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{0}} \right)=\mathrm{f}^{\left(\mathrm{k}\right)} \left(\mathrm{x}_{\mathrm{0}} \right)=\mathrm{0}\:,\:\mathrm{g}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{0}} \right)=\mathrm{g}^{\left(\mathrm{k}\right)} \left(\mathrm{x}_{\mathrm{0}} \right)=\mathrm{0}\:,\:\forall\mathrm{k}\in\left\{\mathrm{1},\mathrm{2},...,\mathrm{n}−\mathrm{1}\right\} \\ $$$$\mathrm{Show}\:\mathrm{that}\:\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{x}_{\mathrm{0}} } {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}=\frac{\mathrm{f}^{\left(\mathrm{n}\right)} \left(\mathrm{x}_{\mathrm{0}} \right)}{\mathrm{g}^{\left(\mathrm{n}\right)} \left(\mathrm{x}_{\mathrm{0}} \right)} \\ $$