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Question Number 103138 by bemath last updated on 13/Jul/20

(D^2 −4D)y = x^2 e^(2x)

$$\left({D}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{D}\right){y}\:=\:{x}^{\mathrm{2}} \:{e}^{\mathrm{2}{x}} \\ $$

Commented by bemath last updated on 14/Jul/20

Commented by Israrchajk724 last updated on 13/Jul/20

please any one tell me can we convert math editor to word ...?

$$ \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{please}\:\mathrm{any}\:\mathrm{one}\:\mathrm{tell}\:\mathrm{me}\:\mathrm{can}\:\mathrm{we}\:\mathrm{convert}\:\mathrm{math}\:\mathrm{editor}\:\mathrm{to}\:\mathrm{word}\:...? \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 14/Jul/20

y^(′′) −4y^′ =x^2 e^(2x) (h)→r^2 −4r =0 ⇒r(r−4)=0 ⇒r =o or r=4 ⇒y_h =a +be^(4x) =au_1 +bu_2 W(u_1 ,u_2 ) = determinant (((1 e^(4x) )),((0 4e^(4x) )))=4e^(4x) ≠0 W_1 = determinant (((o e^(4x) )),((x^2 e^(2x) 4e^(4x) )))=−x^2 e^(6x) W_2 = determinant (((1 o)),((1 x^2 e^(2x) )))=x^2 e^(2x) v_1 =∫ (w_1 /W)dx =∫ ((−x^2 e^(6x) )/(4e^(4x) ))dx =−(1/4)∫x^2 e^(2x) dx ∫x^2 e^(2x) dx =(x^2 /2)e^(2x) −∫ 2x×(1/2)e^(2x) dx =(x^2 /2)e^(2x) −∫ xe^(2x) dx =(x^2 /2)e^(2x) −{ (x/2) e^(2x) −∫ (1/2)e^(2x) dx} =(x^2 /2)e^(2x) −(x/2)e^(2x) +(1/4)e^(2x) ⇒ v_1 =−(1/4){(x^2 /2)e^(2x) −(x/2)e^(2x) +(1/4)e^(2x) } v_2 =∫ (w_2 /w)dx =∫ ((x^2 e^(2x) )/(4e^(4x) ))dx =(1/4) ∫ x^2 e^(−2x) dx 4v_2 =−(x^2 /2)e^(−2x) −∫ 2x×(−(1/2))e^(−2x) dx =−(x^2 /2)e^(−2x) +∫ xe^(−2x) dx =−(x^2 /2)e^(−2x) −(x/2)e^(−2x) +∫(1/2)e^(−2x) dx =−(x^2 /2)e^(−2x) −(x/2)e^(−2x) −(1/4)e^(−2x) ⇒ v_2 =(1/4){ −(x^2 /2)−(x/2)−(1/4)}e^(−2x) y_p =u_1 v_1 +u_2 v_2 =−(1/4){(x^2 /2)−(x/2) +(1/4)}e^(2x) +e^(4x) ×(1/4){−(x^2 /2)−(x/2)−(1/4)}e^(−2x) =(1/4){−(x^2 /2) +(x/2)−(1/4)}e^(2x) +(1/4){−(x^2 /2)−(x/2)−(1/4)}e^(2x) =(1/4){−x^2 −(1/2)}e^(2x) =−(1/4)(x^2 +(1/2))e^(2x) y =y_(h ) +y_p

$$\mathrm{y}^{''} −\mathrm{4y}^{'} \:=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \\ $$$$\left(\mathrm{h}\right)\rightarrow\mathrm{r}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4r}\:=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{r}\left(\mathrm{r}−\mathrm{4}\right)=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{r}\:=\mathrm{o}\:\mathrm{or}\:\mathrm{r}=\mathrm{4}\:\Rightarrow\mathrm{y}_{\mathrm{h}} =\mathrm{a}\:+\mathrm{be}^{\mathrm{4x}} \\ $$$$=\mathrm{au}_{\mathrm{1}} \:+\mathrm{bu}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{W}\left(\mathrm{u}_{\mathrm{1}} ,\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \right)\:=\begin{vmatrix}{\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{\mathrm{4x}} }\\{\mathrm{0}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{4e}^{\mathrm{4x}} }\end{vmatrix}=\mathrm{4e}^{\mathrm{4x}} \:\neq\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{W}_{\mathrm{1}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{o}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{\mathrm{4x}} }\\{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \:\:\:\mathrm{4e}^{\mathrm{4x}} }\end{vmatrix}=−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{e}^{\mathrm{6x}} \\ $$$$\mathrm{W}_{\mathrm{2}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{o}}\\{\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} }\end{vmatrix}=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \\ $$$$\mathrm{v}_{\mathrm{1}} =\int\:\frac{\mathrm{w}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{W}}\mathrm{dx}\:=\int\:\:\frac{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{e}^{\mathrm{6x}} }{\mathrm{4e}^{\mathrm{4x}} }\mathrm{dx}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\:\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \:\mathrm{dx} \\ $$$$\int\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \:\mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \:−\int\:\mathrm{2x}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \:\mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} −\int\:\mathrm{xe}^{\mathrm{2x}} \:\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} −\left\{\:\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \:−\int\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \mathrm{dx}\right\}\:=\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} −\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{v}_{\mathrm{1}} =−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left\{\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \:−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \right\} \\ $$$$\mathrm{v}_{\mathrm{2}} =\int\:\frac{\mathrm{w}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{w}}\mathrm{dx}\:=\int\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} }{\mathrm{4e}^{\mathrm{4x}} }\mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:\int\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \:\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{4v}_{\mathrm{2}} =−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} −\int\:\mathrm{2x}×\left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \mathrm{dx}\:=−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} +\int\:\mathrm{xe}^{−\mathrm{2x}} \:\mathrm{dx} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \:−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \:+\int\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \mathrm{dx}\:=−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} −\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{v}_{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left\{\:−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right\}\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \\ $$$$\mathrm{y}_{\mathrm{p}} =\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \mathrm{v}_{\mathrm{1}} \:+\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \mathrm{v}_{\mathrm{2}} =−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left\{\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right\}\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \:+\mathrm{e}^{\mathrm{4x}} ×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left\{−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right\}\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left\{−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\:+\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right\}\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \:\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left\{−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right\}\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left\{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right\}\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \\ $$$$\mathrm{y}\:=\mathrm{y}_{\mathrm{h}\:} \:+\mathrm{y}_{\mathrm{p}} \\ $$

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