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Question Number 103478 by mohammad17 last updated on 15/Jul/20

Answered by bemath last updated on 15/Jul/20

HE ⇒λ^2 +3λ−2=0 (λ+(3/2))^2 −(9/4)−2=0 (λ+(3/2))^2 =((17)/4) ⇒λ=−(3/2)±((√(17))/2) y_h =C_1 e^(((−3+(√(17)))x)/2) +C_2 e^(((−3−(√(17)))x)/2) particular solution y_p =−((11)/(101))sin 3t−(9/(101))cos 3t general solution y=C_1 e^(((−3+(√(17)))x)/2) +C_2 e^(((−3−(√(17)))x)/2) − ((11)/(101))sin 3t−(9/(101))cos 3t y(0) ⇒C_1 +C_2 =(9/(101)) y′(x)=(((−3+(√(17)))/2))C_1 e^(((−3+(√(17)))x)/2) − C_2 (((3+(√(17)))/2))e^(((−3−(√(17)))x)/2)

$${HE}\:\Rightarrow\lambda^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\lambda−\mathrm{2}=\mathrm{0} \\ $$$$\left(\lambda+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{4}}−\mathrm{2}=\mathrm{0} \\ $$$$\left(\lambda+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{17}}{\mathrm{4}}\:\Rightarrow\lambda=−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\pm\frac{\sqrt{\mathrm{17}}}{\mathrm{2}} \\ $$$${y}_{{h}} ={C}_{\mathrm{1}} {e}^{\frac{\left(−\mathrm{3}+\sqrt{\mathrm{17}}\right){x}}{\mathrm{2}}} +{C}_{\mathrm{2}} {e}^{\frac{\left(−\mathrm{3}−\sqrt{\mathrm{17}}\right){x}}{\mathrm{2}}} \\ $$$${particular}\:{solution} \\ $$$${y}_{{p}} =−\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{101}}\mathrm{sin}\:\mathrm{3}{t}−\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{101}}\mathrm{cos}\:\mathrm{3}{t} \\ $$$${general}\:{solution} \\ $$$${y}={C}_{\mathrm{1}} {e}^{\frac{\left(−\mathrm{3}+\sqrt{\mathrm{17}}\right){x}}{\mathrm{2}}} +{C}_{\mathrm{2}} {e}^{\frac{\left(−\mathrm{3}−\sqrt{\mathrm{17}}\right){x}}{\mathrm{2}}} − \\ $$$$\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{101}}\mathrm{sin}\:\mathrm{3}{t}−\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{101}}\mathrm{cos}\:\mathrm{3}{t} \\ $$$${y}\left(\mathrm{0}\right)\:\Rightarrow{C}_{\mathrm{1}} +{C}_{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{101}} \\ $$$${y}'\left({x}\right)=\left(\frac{−\mathrm{3}+\sqrt{\mathrm{17}}}{\mathrm{2}}\right){C}_{\mathrm{1}} {e}^{\frac{\left(−\mathrm{3}+\sqrt{\mathrm{17}}\right){x}}{\mathrm{2}}} − \\ $$$${C}_{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{3}+\sqrt{\mathrm{17}}}{\mathrm{2}}\right){e}^{\frac{\left(−\mathrm{3}−\sqrt{\mathrm{17}}\right){x}}{\mathrm{2}}} \\ $$

Answered by Worm_Tail last updated on 15/Jul/20

(d^2 y/dt^2 )+3(dy/dt)−2y=2sin3t L((d^2 y/dt^2 )+3(dy/dt)−2y)=L(2sin3t ) L((d^2 y/dt^2 ))+L(3(dy/dt))−L(2y)=(6/(s^2 +9)) s^2 F(s)−sy(0)−y′(0)+3(sF(s)−y(0))−2F(s)=(6/(s^2 +9)) s^2 F(s)−(−2)+3sF(s)−2F(s)=(6/(s^2 +9)) F(s)[s^2 +3s−2]=(6/(s^2 +9))−2 F(s)[s^2 +3s−2]=((−2s^2 −12)/(s^2 +9)) F(s)=((−2s^2 −12)/((s^2 +9)(s^2 +3s−2))) F(s)=(9/(101))((s/((s−(3/2))^2 −((19)/4))))−((142)/(101))((1/((s−(3/2))^2 −((19)/4))))−(9/(101))((s/(s^2 +9)))−((33)/(101))((1/(s^2 +9))) evaluating L^(−1) of both sides f(t)=(e^((−t(3+(√(17))))/2) /(34(101)))(−311(√(17))e^(t(√(17))) +153e^(t(√(17))) +153+311(√(17)))−(((9x+11)sin(3t))/(3(101)))

$$\frac{{d}^{\mathrm{2}} {y}}{{dt}^{\mathrm{2}} }+\mathrm{3}\frac{{dy}}{{dt}}−\mathrm{2}{y}=\mathrm{2}{sin}\mathrm{3}{t}\:\:\:\: \\ $$$$\:\:\:{L}\left(\frac{{d}^{\mathrm{2}} {y}}{{dt}^{\mathrm{2}} }+\mathrm{3}\frac{{dy}}{{dt}}−\mathrm{2}{y}\right)={L}\left(\mathrm{2}{sin}\mathrm{3}{t}\:\right) \\ $$$$\:\:\:{L}\left(\frac{{d}^{\mathrm{2}} {y}}{{dt}^{\mathrm{2}} }\right)+{L}\left(\mathrm{3}\frac{{dy}}{{dt}}\right)−{L}\left(\mathrm{2}{y}\right)=\frac{\mathrm{6}}{{s}^{\mathrm{2}} +\mathrm{9}} \\ $$$$\:\:\:{s}^{\mathrm{2}} {F}\left({s}\right)−{sy}\left(\mathrm{0}\right)−{y}'\left(\mathrm{0}\right)+\mathrm{3}\left({sF}\left({s}\right)−{y}\left(\mathrm{0}\right)\right)−\mathrm{2}{F}\left({s}\right)=\frac{\mathrm{6}}{{s}^{\mathrm{2}} +\mathrm{9}} \\ $$$$\:\:\:{s}^{\mathrm{2}} {F}\left({s}\right)−\left(−\mathrm{2}\right)+\mathrm{3}{sF}\left({s}\right)−\mathrm{2}{F}\left({s}\right)=\frac{\mathrm{6}}{{s}^{\mathrm{2}} +\mathrm{9}} \\ $$$$\:\:\:{F}\left({s}\right)\left[{s}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{s}−\mathrm{2}\right]=\frac{\mathrm{6}}{{s}^{\mathrm{2}} +\mathrm{9}}−\mathrm{2} \\ $$$$\:\:\:{F}\left({s}\right)\left[{s}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{s}−\mathrm{2}\right]=\frac{−\mathrm{2}{s}^{\mathrm{2}} −\mathrm{12}}{{s}^{\mathrm{2}} +\mathrm{9}} \\ $$$$\:\:\:{F}\left({s}\right)=\frac{−\mathrm{2}{s}^{\mathrm{2}} −\mathrm{12}}{\left({s}^{\mathrm{2}} +\mathrm{9}\right)\left({s}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{s}−\mathrm{2}\right)} \\ $$$$\:\:\:{F}\left({s}\right)=\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{101}}\left(\frac{{s}}{\left({s}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{19}}{\mathrm{4}}}\right)−\frac{\mathrm{142}}{\mathrm{101}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\left({s}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{19}}{\mathrm{4}}}\right)−\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{101}}\left(\frac{{s}}{{s}^{\mathrm{2}} +\mathrm{9}}\right)−\frac{\mathrm{33}}{\mathrm{101}}\left(\frac{\mathrm{1}}{{s}^{\mathrm{2}} +\mathrm{9}}\right) \\ $$$${evaluating}\:\:{L}^{−\mathrm{1}} \:{of}\:{both}\:{sides} \\ $$$$\:\:\:{f}\left({t}\right)=\frac{{e}^{\frac{−{t}\left(\mathrm{3}+\sqrt{\left.\mathrm{17}\right)}\right.}{\mathrm{2}}} }{\mathrm{34}\left(\mathrm{101}\right)}\left(−\mathrm{311}\sqrt{\mathrm{17}}{e}^{{t}\sqrt{\mathrm{17}}} \:\:+\mathrm{153}{e}^{{t}\sqrt{\mathrm{17}}} +\mathrm{153}+\mathrm{311}\sqrt{\mathrm{17}}\right)−\frac{\left(\mathrm{9}{x}+\mathrm{11}\right){sin}\left(\mathrm{3}{t}\right)}{\mathrm{3}\left(\mathrm{101}\right)} \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 15/Jul/20

y^(′′) +3y^′ −2y =2sin(3t) he→y^(′′) +3y^′ −2y =0→r^2 +3r−2=0 →Δ=9+8 =17 ⇒ r_1 =((−3+(√(17)))/2) and r_2 =((−3−(√(17)))/2) ⇒y_h =ae^(r_1 t) +b e^(r_2 t) =au_1 +bu_2 W(u_1 ,u_2 ) = determinant (((e^(r_1 t) e^(r_2 t) )),((r_1 e^(r_1 t) r_2 e^(r_2 t) )))=(r_2 −r_1 )e^((r_1 +r_2 )t) =−(√(17))e^(−3t) ≠0 W_1 = determinant (((o e^(r_2 t) )),((2sin(3t) r_2 e^(r_2 t) )))=−2e^(r_2 t) sin(3t) W_2 = determinant (((e^(r_1 t) 0)),((r_1 e^(r_1 t) 2sin(3t))))=2e^(r1t) sin(3t) v_1 =∫ (w_1 /w)dt =−∫ ((2e^(r_2 t) sin(3t))/(−(√(17))e^(−3t) )) =(2/(√(17))) ∫ e^((3+r_2 )t) sin(3t)dt =(2/(√(17))) ∫ e^((((3−(√(17)))/2))t) sin(3t)dt =(2/(√(17))) Im(∫ e^((((3−(√(17)))/2)+3i)t) dt) and ∫ e^((...)t) dt =(1/((((3−(√(17)))/2)+3i)))e^((((3−(√(17)))/2)+3i)t) =(2/((3−(√(17))+6i)))e^((...)) =((2(3−(√(17))−6i))/((3−(√(17)))^2 +36)) e^(((3−(√(17)))/2)t) {cos(3t)+isin(3t)} rest to extract Im(∫..).. v_2 =∫ (w_2 /w)dt =∫ ((2e^(r_1 t) sin(3t))/(−(√(17))e^(−3t) )) =−(2/(√(17))) ∫ e^((3+r_1 )t) sin(3t) =−(2/(√(17))) Im(∫ e^((3+r_1 +3i)t) dt) =....we follow the same way.. ⇒y_p =u_1 v_1 +u_2 v_2 and y =y_h +y_p

$$\mathrm{y}^{''} \:+\mathrm{3y}^{'} −\mathrm{2y}\:=\mathrm{2sin}\left(\mathrm{3t}\right) \\ $$$$\mathrm{he}\rightarrow\mathrm{y}^{''} +\mathrm{3y}^{'} −\mathrm{2y}\:=\mathrm{0}\rightarrow\mathrm{r}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3r}−\mathrm{2}=\mathrm{0}\:\rightarrow\Delta=\mathrm{9}+\mathrm{8}\:=\mathrm{17}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{r}_{\mathrm{1}} =\frac{−\mathrm{3}+\sqrt{\mathrm{17}}}{\mathrm{2}}\:\:\mathrm{and}\:\mathrm{r}_{\mathrm{2}} =\frac{−\mathrm{3}−\sqrt{\mathrm{17}}}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow\mathrm{y}_{\mathrm{h}} =\mathrm{ae}^{\mathrm{r}_{\mathrm{1}} \mathrm{t}} \:+\mathrm{b}\:\mathrm{e}^{\mathrm{r}_{\mathrm{2}} \mathrm{t}} \:=\mathrm{au}_{\mathrm{1}} \:+\mathrm{bu}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{W}\left(\mathrm{u}_{\mathrm{1}} ,\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \right)\:=\begin{vmatrix}{\mathrm{e}^{\mathrm{r}_{\mathrm{1}} \mathrm{t}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{\mathrm{r}_{\mathrm{2}} \mathrm{t}} }\\{\mathrm{r}_{\mathrm{1}} \mathrm{e}^{\mathrm{r}_{\mathrm{1}} \mathrm{t}} \:\:\:\:\:\:\mathrm{r}_{\mathrm{2}} \mathrm{e}^{\mathrm{r}_{\mathrm{2}} \mathrm{t}} }\end{vmatrix}=\left(\mathrm{r}_{\mathrm{2}} −\mathrm{r}_{\mathrm{1}} \right)\mathrm{e}^{\left(\mathrm{r}_{\mathrm{1}} +\mathrm{r}_{\mathrm{2}} \right)\mathrm{t}} \:=−\sqrt{\mathrm{17}}\mathrm{e}^{−\mathrm{3t}} \:\neq\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{W}_{\mathrm{1}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{o}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{\mathrm{r}_{\mathrm{2}} \mathrm{t}} }\\{\mathrm{2sin}\left(\mathrm{3t}\right)\:\:\:\:\mathrm{r}_{\mathrm{2}} \mathrm{e}^{\mathrm{r}_{\mathrm{2}} \mathrm{t}} }\end{vmatrix}=−\mathrm{2e}^{\mathrm{r}_{\mathrm{2}} \mathrm{t}} \:\mathrm{sin}\left(\mathrm{3t}\right) \\ $$$$\mathrm{W}_{\mathrm{2}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{e}^{\mathrm{r}_{\mathrm{1}} \mathrm{t}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}}\\{\mathrm{r}_{\mathrm{1}} \mathrm{e}^{\mathrm{r}_{\mathrm{1}} \mathrm{t}} \:\:\:\:\:\mathrm{2sin}\left(\mathrm{3t}\right)}\end{vmatrix}=\mathrm{2e}^{\mathrm{r1t}} \:\mathrm{sin}\left(\mathrm{3t}\right) \\ $$$$\mathrm{v}_{\mathrm{1}} =\int\:\frac{\mathrm{w}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{w}}\mathrm{dt}\:=−\int\:\:\frac{\mathrm{2e}^{\mathrm{r}_{\mathrm{2}} \mathrm{t}} \mathrm{sin}\left(\mathrm{3t}\right)}{−\sqrt{\mathrm{17}}\mathrm{e}^{−\mathrm{3t}} }\:=\frac{\mathrm{2}}{\sqrt{\mathrm{17}}}\:\int\:\mathrm{e}^{\left(\mathrm{3}+\mathrm{r}_{\mathrm{2}} \right)\mathrm{t}} \:\mathrm{sin}\left(\mathrm{3t}\right)\mathrm{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}}{\sqrt{\mathrm{17}}}\:\int\:\mathrm{e}^{\left(\frac{\mathrm{3}−\sqrt{\mathrm{17}}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{t}} \:\mathrm{sin}\left(\mathrm{3t}\right)\mathrm{dt}\:=\frac{\mathrm{2}}{\sqrt{\mathrm{17}}}\:\mathrm{Im}\left(\int\:\mathrm{e}^{\left(\frac{\mathrm{3}−\sqrt{\mathrm{17}}}{\mathrm{2}}+\mathrm{3i}\right)\mathrm{t}} \mathrm{dt}\right) \\ $$$$\mathrm{and}\:\int\:\:\mathrm{e}^{\left(...\right)\mathrm{t}} \:\mathrm{dt}\:=\frac{\mathrm{1}}{\left(\frac{\mathrm{3}−\sqrt{\mathrm{17}}}{\mathrm{2}}+\mathrm{3i}\right)}\mathrm{e}^{\left(\frac{\mathrm{3}−\sqrt{\mathrm{17}}}{\mathrm{2}}+\mathrm{3i}\right)\mathrm{t}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}}{\left(\mathrm{3}−\sqrt{\mathrm{17}}+\mathrm{6i}\right)}\mathrm{e}^{\left(...\right)} \:=\frac{\mathrm{2}\left(\mathrm{3}−\sqrt{\mathrm{17}}−\mathrm{6i}\right)}{\left(\mathrm{3}−\sqrt{\mathrm{17}}\right)^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{36}}\:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{3}−\sqrt{\mathrm{17}}}{\mathrm{2}}\mathrm{t}} \left\{\mathrm{cos}\left(\mathrm{3t}\right)+\mathrm{isin}\left(\mathrm{3t}\right)\right\}\:\mathrm{rest} \\ $$$$\mathrm{to}\:\mathrm{extract}\:\mathrm{Im}\left(\int..\right).. \\ $$$$\mathrm{v}_{\mathrm{2}} =\int\:\frac{\mathrm{w}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{w}}\mathrm{dt}\:=\int\:\frac{\mathrm{2e}^{\mathrm{r}_{\mathrm{1}} \mathrm{t}} \:\mathrm{sin}\left(\mathrm{3t}\right)}{−\sqrt{\mathrm{17}}\mathrm{e}^{−\mathrm{3t}} }\:=−\frac{\mathrm{2}}{\sqrt{\mathrm{17}}}\:\int\:\:\mathrm{e}^{\left(\mathrm{3}+\mathrm{r}_{\mathrm{1}} \right)\mathrm{t}} \:\mathrm{sin}\left(\mathrm{3t}\right) \\ $$$$=−\frac{\mathrm{2}}{\sqrt{\mathrm{17}}}\:\mathrm{Im}\left(\int\:\:\mathrm{e}^{\left(\mathrm{3}+\mathrm{r}_{\mathrm{1}} +\mathrm{3i}\right)\mathrm{t}} \mathrm{dt}\right)\:=....\mathrm{we}\:\mathrm{follow}\:\mathrm{the}\:\mathrm{same}\:\mathrm{way}.. \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}_{\mathrm{p}} =\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \mathrm{v}_{\mathrm{1}} \:+\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \mathrm{v}_{\mathrm{2}} \:\:\mathrm{and}\:\mathrm{y}\:=\mathrm{y}_{\mathrm{h}} \:+\mathrm{y}_{\mathrm{p}} \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 15/Jul/20

let use laplace transform y^(′′) +3y^′ −2y =2sin(3t) ⇒L(y^(′′) )+3L(y^′ )−2L(y) =2L(sin(3t)) ⇒ t^2 L(y)−ty(o)−y^′ (o)+3(t L(y)−y(o))−2L(y) =2L(sin(3t)) ⇒ (t^2 +3t−2)L(y) +2 =2 L(sin(3t)) and L(sin(3t)) =∫_0 ^∞ sin(3x)e^(−tx) dx =Im(∫_0 ^∞ e^(−tx+3ix) dx) =Im(∫_0 ^∞ e^((−t+3i)x) dx) and ∫_0 ^∞ e^((−t+3i)x) dx =[(1/(−t+3i)) e^((−t+3i)x) ]_0 ^∞ =−(1/(−t+3i)) =(1/(t−3i)) =((t+3i)/(t^2 +9)) ⇒L(sin(3t)) =(3/(t^2 +9)) e⇒ (t^2 +3t−2)L(y) =−2 +(6/(t^2 +9)) ⇒L(y) =((−2)/(t^2 +3t−2)) +(6/((t^2 +9)(t^2 +3t−2))) ⇒y(t) =−2L^(−1) ((1/(t^2 +3t−2))) +6L^(−1) ((1/((t^2 +9)(t^2 +3t−2)))) let decompose f(t) =(1/(t^2 +3t−2)) Δ =9+8=17 ⇒t_1 =((−3+(√(17)))/2) and t_2 =((−3−(√(17)))/2) ⇒ f(t)=(1/((t−t_1 )(t−t_2 ))) =(1/(√(17)))((1/(t−t_1 ))−(1/(t−t_2 )) ) ⇒ L^(−1) (f) =(1/(√(17)))e^(t_1 t) −(1/(√(17))) e^(t_2 t) let decompose g(t) =(1/((t^2 +9)(t^2 +3t−2))) ⇒g(t) =(1/((t−3i)(t+3i)(t−t_1 )(t−t_2 ))) =(a/(t−3i)) +(b/(t+3i)) +(c/(t−t_1 )) +(d/(t−t_2 )) eazy to find this coefficients ⇒ L^(−1) (g) =a e^(3it) +b e^(−3it) +c e^(t_1 t) +de^(t_2 t) ⇒at form αcos(3t) +βsin(3t) +ce^(t_1 t) +d e^(t_2 t) ⇒ y(t) =αcos(3t)+βsin(3t) +a e^((((−3+(√(17)))/2))t) +b e^((((−3−(√(17)))/2))t)

$$\mathrm{let}\:\mathrm{use}\:\mathrm{laplace}\:\mathrm{transform} \\ $$$$\mathrm{y}^{''} \:+\mathrm{3y}^{'} \:−\mathrm{2y}\:=\mathrm{2sin}\left(\mathrm{3t}\right)\:\Rightarrow\mathrm{L}\left(\mathrm{y}^{''} \right)+\mathrm{3L}\left(\mathrm{y}^{'} \right)−\mathrm{2L}\left(\mathrm{y}\right)\:=\mathrm{2L}\left(\mathrm{sin}\left(\mathrm{3t}\right)\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)−\mathrm{ty}\left(\mathrm{o}\right)−\mathrm{y}^{'} \left(\mathrm{o}\right)+\mathrm{3}\left(\mathrm{t}\:\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)−\mathrm{y}\left(\mathrm{o}\right)\right)−\mathrm{2L}\left(\mathrm{y}\right)\:=\mathrm{2L}\left(\mathrm{sin}\left(\mathrm{3t}\right)\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3t}−\mathrm{2}\right)\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)\:+\mathrm{2}\:=\mathrm{2}\:\mathrm{L}\left(\mathrm{sin}\left(\mathrm{3t}\right)\right)\:\mathrm{and} \\ $$$$\mathrm{L}\left(\mathrm{sin}\left(\mathrm{3t}\right)\right)\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\mathrm{sin}\left(\mathrm{3x}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{tx}} \:\mathrm{dx}\:\:=\mathrm{Im}\left(\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{tx}+\mathrm{3ix}} \:\mathrm{dx}\right)\: \\ $$$$=\mathrm{Im}\left(\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{t}+\mathrm{3i}\right)\mathrm{x}} \:\mathrm{dx}\right)\:\mathrm{and}\:\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{t}+\mathrm{3i}\right)\mathrm{x}} \:\mathrm{dx}\:=\left[\frac{\mathrm{1}}{−\mathrm{t}+\mathrm{3i}}\:\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{t}+\mathrm{3i}\right)\mathrm{x}} \right]_{\mathrm{0}} ^{\infty} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{−\mathrm{t}+\mathrm{3i}}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}−\mathrm{3i}}\:=\frac{\mathrm{t}+\mathrm{3i}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{9}}\:\Rightarrow\mathrm{L}\left(\mathrm{sin}\left(\mathrm{3t}\right)\right)\:=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{9}} \\ $$$$\mathrm{e}\Rightarrow\:\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3t}−\mathrm{2}\right)\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)\:=−\mathrm{2}\:+\frac{\mathrm{6}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{9}}\:\Rightarrow\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)\:=\frac{−\mathrm{2}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3t}−\mathrm{2}}\:+\frac{\mathrm{6}}{\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{9}\right)\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3t}−\mathrm{2}\right)} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}\left(\mathrm{t}\right)\:=−\mathrm{2L}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3t}−\mathrm{2}}\right)\:+\mathrm{6L}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{9}\right)\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3t}−\mathrm{2}\right)}\right) \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{decompose}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3t}−\mathrm{2}} \\ $$$$\Delta\:=\mathrm{9}+\mathrm{8}=\mathrm{17}\:\Rightarrow\mathrm{t}_{\mathrm{1}} =\frac{−\mathrm{3}+\sqrt{\mathrm{17}}}{\mathrm{2}}\:\:\mathrm{and}\:\mathrm{t}_{\mathrm{2}} =\frac{−\mathrm{3}−\sqrt{\mathrm{17}}}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{t}−\mathrm{t}_{\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{t}−\mathrm{t}_{\mathrm{2}} \right)}\:=\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{17}}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}−\mathrm{t}_{\mathrm{1}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}−\mathrm{t}_{\mathrm{2}} }\:\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{L}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{f}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{17}}}\mathrm{e}^{\mathrm{t}_{\mathrm{1}} \mathrm{t}} −\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{17}}}\:\mathrm{e}^{\mathrm{t}_{\mathrm{2}} \mathrm{t}} \:\:\mathrm{let}\:\mathrm{decompose}\:\mathrm{g}\left(\mathrm{t}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{9}\right)\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3t}−\mathrm{2}\right)} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{g}\left(\mathrm{t}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{t}−\mathrm{3i}\right)\left(\mathrm{t}+\mathrm{3i}\right)\left(\mathrm{t}−\mathrm{t}_{\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{t}−\mathrm{t}_{\mathrm{2}} \right)}\:=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{t}−\mathrm{3i}}\:+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{t}+\mathrm{3i}}\:+\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{t}−\mathrm{t}_{\mathrm{1}} }\:+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{t}−\mathrm{t}_{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{eazy}\:\mathrm{to}\:\mathrm{find}\:\mathrm{this}\:\mathrm{coefficients}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{L}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{g}\right)\:=\mathrm{a}\:\mathrm{e}^{\mathrm{3it}} \:+\mathrm{b}\:\mathrm{e}^{−\mathrm{3it}} \:+\mathrm{c}\:\mathrm{e}^{\mathrm{t}_{\mathrm{1}} \mathrm{t}} \:+\mathrm{de}^{\mathrm{t}_{\mathrm{2}} \mathrm{t}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{at}\:\mathrm{form}\:\:\alpha\mathrm{cos}\left(\mathrm{3t}\right)\:+\beta\mathrm{sin}\left(\mathrm{3t}\right)\:+\mathrm{ce}^{\mathrm{t}_{\mathrm{1}} \mathrm{t}} \:+\mathrm{d}\:\mathrm{e}^{\mathrm{t}_{\mathrm{2}} \mathrm{t}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{y}\left(\mathrm{t}\right)\:=\alpha\mathrm{cos}\left(\mathrm{3t}\right)+\beta\mathrm{sin}\left(\mathrm{3t}\right)\:+\mathrm{a}\:\mathrm{e}^{\left(\frac{−\mathrm{3}+\sqrt{\mathrm{17}}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{t}} \:+\mathrm{b}\:\mathrm{e}^{\left(\frac{−\mathrm{3}−\sqrt{\mathrm{17}}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{t}} \\ $$$$ \\ $$

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