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Question Number 104595 by Ar Brandon last updated on 22/Jul/20

Solve the DE x′′(t)+2x′(t)+x(t)=te^(−t)

$$\mathrm{Solve}\:\mathrm{the}\:\mathcal{DE} \\ $$$$\mathrm{x}''\left(\mathrm{t}\right)+\mathrm{2x}'\left(\mathrm{t}\right)+\mathrm{x}\left(\mathrm{t}\right)=\mathrm{te}^{−\mathrm{t}} \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 22/Jul/20

h)→r^2 +2r+1 =0 ⇒(r+1)^2 =0 ⇒r =−1 (double) ⇒x_h =(at+b)e^(−t) =a t e^(−t) +b e^(−t) =au_1 +bu_2 W(u,,u_2 ) = determinant (((te^(−t) e^(−t) )),(((1−t)e^(−t) −e^(−t) )))=−te^(−2t) −(1−t)e^(−2t) =(−t−1+t)e^(−2t) =−e^(−2t) ≠0 W_1 = determinant (((o e^(−t) )),((te^(−t) −e^(−t) )))=−t e^(−2t) W_2 = determinant (((te^(−t) 0)),(((1−t)e^(−t) te^(−t) )))=t^2 e^(−2t) v_1 =∫ (w_1 /W)dt =∫ ((−te^(−2t) )/(−e^(−2t) ))dt =∫t dt =(t^2 /2) v_2 =∫ (w_2 /W)dt =∫ ((t^2 e^(−2t) )/(−e^(−2t) ))dt =−∫ t^2 dt =−(t^3 /3) ⇒ x_p =u_1 v_1 +u_2 v_2 =t e^(−t) ((t^2 /2))+e^(−t) (−(t^3 /3)) =((t^3 /2)−(t^3 /3))e^(−t) =(t^3 /6)e^(−t) the general solution is x =x_p +x_h =(t^3 /6)e^(−t) +(at+b)e^(−t)

$$\left.\mathrm{h}\right)\rightarrow\mathrm{r}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2r}+\mathrm{1}\:=\mathrm{0}\:\Rightarrow\left(\mathrm{r}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{r}\:=−\mathrm{1}\:\left(\mathrm{double}\right)\:\Rightarrow\mathrm{x}_{\mathrm{h}} =\left(\mathrm{at}+\mathrm{b}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} \\ $$$$=\mathrm{a}\:\mathrm{t}\:\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} \:+\mathrm{b}\:\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} \:=\mathrm{au}_{\mathrm{1}} \:+\mathrm{bu}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{W}\left(\mathrm{u},,\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \right)\:=\begin{vmatrix}{\mathrm{te}^{−\mathrm{t}} \:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} }\\{\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} \:\:−\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} }\end{vmatrix}=−\mathrm{te}^{−\mathrm{2t}} −\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{2t}} \:=\left(−\mathrm{t}−\mathrm{1}+\mathrm{t}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{2t}} \:=−\mathrm{e}^{−\mathrm{2t}} \neq\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{W}_{\mathrm{1}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{o}\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} }\\{\mathrm{te}^{−\mathrm{t}} \:\:−\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} }\end{vmatrix}=−\mathrm{t}\:\mathrm{e}^{−\mathrm{2t}} \\ $$$$\mathrm{W}_{\mathrm{2}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{te}^{−\mathrm{t}} \:\:\:\:\:\:\mathrm{0}}\\{\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} \:\:\:\:\:\:\:\mathrm{te}^{−\mathrm{t}} }\end{vmatrix}=\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{2t}} \\ $$$$\mathrm{v}_{\mathrm{1}} =\int\:\:\frac{\mathrm{w}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{W}}\mathrm{dt}\:=\int\:\:\frac{−\mathrm{te}^{−\mathrm{2t}} }{−\mathrm{e}^{−\mathrm{2t}} }\mathrm{dt}\:=\int\mathrm{t}\:\mathrm{dt}\:=\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{v}_{\mathrm{2}} =\int\:\frac{\mathrm{w}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{W}}\mathrm{dt}\:=\int\:\:\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{2t}} }{−\mathrm{e}^{−\mathrm{2t}} }\mathrm{dt}\:=−\int\:\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{dt}\:=−\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{x}_{\mathrm{p}} =\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \mathrm{v}_{\mathrm{1}} \:+\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \mathrm{v}_{\mathrm{2}} =\mathrm{t}\:\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} \left(\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\right)+\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} \left(−\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}}\right)\:=\left(\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} \:=\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{6}}\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{general}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{is}\:\mathrm{x}\:=\mathrm{x}_{\mathrm{p}} \:+\mathrm{x}_{\mathrm{h}} =\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{6}}\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} \:+\left(\mathrm{at}+\mathrm{b}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} \\ $$

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