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Question Number 105195 by mohammad17 last updated on 26/Jul/20

Answered by Aziztisffola last updated on 26/Jul/20

L(2y′′+3y′−2y)=L(te^(−2t) ) 2s^2 Y(s)−2sy(0)−2y(0)+3sY(s)−3y(0)−2Y(s)=−(d/ds)(L(e^(−2t) )) (2s^2 +3s−2)Y(s)+4=−(d/ds)((1/(s+2))) (2s^2 +3s−2)Y(s)+4=(1/((s+2)^2 )) Y(s)=((1/((s+2)^2 ))−4).(1/(2s^2 +3s−2)) =((1/((s+2)^2 ))−4).(1/((s+2)(s−(1/2)))) =(1/((s+2)^3 (s−(1/2)))) − (4/((s+2)(s−(1/2)))) then partial fractions and calulate the inverse y(t)=L^(−1) {Y(s)}

$$\mathrm{L}\left(\mathrm{2y}''+\mathrm{3y}'−\mathrm{2y}\right)=\mathrm{L}\left(\mathrm{te}^{−\mathrm{2t}} \right) \\ $$$$\mathrm{2s}^{\mathrm{2}} \mathrm{Y}\left(\mathrm{s}\right)−\mathrm{2sy}\left(\mathrm{0}\right)−\mathrm{2y}\left(\mathrm{0}\right)+\mathrm{3sY}\left(\mathrm{s}\right)−\mathrm{3y}\left(\mathrm{0}\right)−\mathrm{2Y}\left(\mathrm{s}\right)=−\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{ds}}\left(\mathrm{L}\left(\mathrm{e}^{−\mathrm{2t}} \right)\right) \\ $$$$\left(\mathrm{2s}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3s}−\mathrm{2}\right)\mathrm{Y}\left(\mathrm{s}\right)+\mathrm{4}=−\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{ds}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{s}+\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{2s}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3s}−\mathrm{2}\right)\mathrm{Y}\left(\mathrm{s}\right)+\mathrm{4}=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{s}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{Y}\left(\mathrm{s}\right)=\left(\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{s}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }−\mathrm{4}\right).\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2s}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3s}−\mathrm{2}} \\ $$$$=\left(\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{s}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }−\mathrm{4}\right).\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{s}+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{s}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{s}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{s}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)}\:−\:\frac{\mathrm{4}}{\left(\mathrm{s}+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{s}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)} \\ $$$$\mathrm{then}\:\mathrm{partial}\:\mathrm{fractions}\:\mathrm{and}\:\mathrm{calulate}\:\mathrm{the} \\ $$$$\mathrm{inverse}\:\mathrm{y}\left(\mathrm{t}\right)=\mathrm{L}^{−\mathrm{1}} \left\{\mathrm{Y}\left(\mathrm{s}\right)\right\} \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 27/Jul/20

2y^(′′) +3y^′ −2y =te^(−2t) ⇒2L(y^(′′) )+3L(y^′ )−2L(y) =L(te^(−2t) ) ⇒2{t^2 L(y)−ty(o)−y^′ (o))+3{tL(y)−y(o)}−2L(y)=L(te^(−2t) ) ⇒ (2t^2 +3t−2)L(y)+4 =L(te^(−2t) ) but L(te^(−2t) ) =∫_0 ^∞ xe^(−2x) e^(−tx) dx =∫_0 ^∞ x e^(−(t+2)x) dx =[(x/(−(t+2)))e^(−(t+2)x) ]_(x=0) ^∞ −∫_0 ^∞ (1/(−(t+2)))e^(−(t+2)x) dx =(1/((t+2)))∫_0 ^∞ e^(−(t+2)x) dx =−(1/((t+2)^2 ))[e^(−(t+2)x) ]_(x=0) ^∞ =(1/((t+2)^2 )) e ⇒(2t^2 +3t−2)L(y) =−4 +(1/((t+2)^2 )) ⇒ L(y) =((−4)/(2t^2 +3t−2)) +(1/((t+2)^2 (2t^2 +3t−2))) ⇒ y(t) =−4L^(−1) ((1/(2t^2 +3t−2))) +L^(−1) ((1/((t+2)^2 (2t^2 +3t−2))) let decompose F(t)=(1/(2t^2 +3t−2)) Δ =9−4(−4) =25 ⇒t_1 =((−3+5)/4) =(1/2) and t_2 =((−3−5)/4) =−2 ⇒ F(x) =(1/(2(t−t_1 )(t−t_2 ))) =(1/2)×(2/5)((1/(t−(1/2)))−(1/(t+2))) ⇒ L^(−1) (F(t)) =(1/5){ e^(x/2) −e^(−2x) } let decompose g(t)=(1/((t+2)^2 (2t^2 +3t−2))) ⇒g(t) =(1/(2(t+2)^2 (t+2)(t−(1/2)))) =(a/(t+2)) +(b/((t+2)^2 )) +(c/((t+2)^3 )) +(d/(t−(1/2))) ⇒L^(−1) (g) =a e^(−2t) +bt e^(−2t) +ct^2 e^(−2t) +d e^(t/2)

$$\mathrm{2y}^{''} +\mathrm{3y}^{'} −\mathrm{2y}\:=\mathrm{te}^{−\mathrm{2t}} \:\Rightarrow\mathrm{2L}\left(\mathrm{y}^{''} \right)+\mathrm{3L}\left(\mathrm{y}^{'} \right)−\mathrm{2L}\left(\mathrm{y}\right)\:=\mathrm{L}\left(\mathrm{te}^{−\mathrm{2t}} \right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2}\left\{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)−\mathrm{ty}\left(\mathrm{o}\right)−\mathrm{y}^{'} \left(\mathrm{o}\right)\right)+\mathrm{3}\left\{\mathrm{tL}\left(\mathrm{y}\right)−\mathrm{y}\left(\mathrm{o}\right)\right\}−\mathrm{2L}\left(\mathrm{y}\right)=\mathrm{L}\left(\mathrm{te}^{−\mathrm{2t}} \right)\:\Rightarrow \\ $$$$\left(\mathrm{2t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3t}−\mathrm{2}\right)\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)+\mathrm{4}\:=\mathrm{L}\left(\mathrm{te}^{−\mathrm{2t}} \right)\:\mathrm{but} \\ $$$$\mathrm{L}\left(\mathrm{te}^{−\mathrm{2t}} \right)\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{xe}^{−\mathrm{2x}} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{tx}} \mathrm{dx}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{x}\:\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{t}+\mathrm{2}\right)\mathrm{x}} \mathrm{dx} \\ $$$$=\left[\frac{\mathrm{x}}{−\left(\mathrm{t}+\mathrm{2}\right)}\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{t}+\mathrm{2}\right)\mathrm{x}} \right]_{\mathrm{x}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:−\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{1}}{−\left(\mathrm{t}+\mathrm{2}\right)}\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{t}+\mathrm{2}\right)\mathrm{x}} \mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{t}+\mathrm{2}\right)}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{t}+\mathrm{2}\right)\mathrm{x}} \mathrm{dx}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{t}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }\left[\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{t}+\mathrm{2}\right)\mathrm{x}} \right]_{\mathrm{x}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{t}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{e}\:\Rightarrow\left(\mathrm{2t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3t}−\mathrm{2}\right)\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)\:=−\mathrm{4}\:+\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{t}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)\:=\frac{−\mathrm{4}}{\mathrm{2t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3t}−\mathrm{2}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{t}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3t}−\mathrm{2}\right)}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{y}\left(\mathrm{t}\right)\:=−\mathrm{4L}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3t}−\mathrm{2}}\right)\:+\mathrm{L}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{t}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3t}−\mathrm{2}\right.}\right) \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{decompose}\:\mathrm{F}\left(\mathrm{t}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3t}−\mathrm{2}} \\ $$$$\Delta\:=\mathrm{9}−\mathrm{4}\left(−\mathrm{4}\right)\:=\mathrm{25}\:\Rightarrow\mathrm{t}_{\mathrm{1}} =\frac{−\mathrm{3}+\mathrm{5}}{\mathrm{4}}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{and}\:\mathrm{t}_{\mathrm{2}} =\frac{−\mathrm{3}−\mathrm{5}}{\mathrm{4}}\:=−\mathrm{2}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{t}−\mathrm{t}_{\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{t}−\mathrm{t}_{\mathrm{2}} \right)}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}×\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}+\mathrm{2}}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{L}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{F}\left(\mathrm{t}\right)\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\left\{\:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \:−\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \right\}\:\:\mathrm{let}\:\mathrm{decompose}\:\mathrm{g}\left(\mathrm{t}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{t}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3t}−\mathrm{2}\right)} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{g}\left(\mathrm{t}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{t}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{t}+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{t}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)}\:=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{t}+\mathrm{2}}\:+\frac{\mathrm{b}}{\left(\mathrm{t}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{c}}{\left(\mathrm{t}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{3}} }\:+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{t}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{L}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{g}\right)\:=\mathrm{a}\:\mathrm{e}^{−\mathrm{2t}} \:+\mathrm{bt}\:\mathrm{e}^{−\mathrm{2t}} \:+\mathrm{ct}^{\mathrm{2}} \mathrm{e}^{−\mathrm{2t}} \:+\mathrm{d}\:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{2}}} \\ $$

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