Question Number 105380 by Skabetix last updated on 28/Jul/20
Commented by Skabetix last updated on 28/Jul/20
$${pls}\:{need}\:{help} \\ $$
Answered by 1549442205PVT last updated on 28/Jul/20
$$\mathrm{Apply}\:\mathrm{Cauchy}'\mathrm{s}\:\mathrm{inequality}\:\mathrm{for}\:\mathrm{three} \\ $$$$\mathrm{positive}\:\mathrm{numners}\:\mathrm{we}\:\mathrm{get}: \\ $$$$\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{ab}+\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \geqslant\mathrm{3}\:^{\mathrm{3}} \sqrt{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} .\mathrm{ab}.\mathrm{b}^{\mathrm{2}} }\:=\mathrm{3ab}\Rightarrow\mathrm{log}_{\mathrm{c}} \left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{ab}+\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \right)\geqslant\mathrm{log}_{\mathrm{c}} \left(\mathrm{3ab}\right)=\mathrm{log}_{\mathrm{c}} \mathrm{3}+\mathrm{log}_{\mathrm{c}} \mathrm{a}+\mathrm{log}_{\mathrm{c}} \mathrm{b} \\ $$$$\mathrm{Similarly},\mathrm{log}_{\mathrm{a}} \left(\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{bc}+\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \right)\geqslant\mathrm{log}_{\mathrm{a}} \mathrm{3}+\mathrm{log}_{\mathrm{a}} \mathrm{b}+\mathrm{log}_{\mathrm{a}} \mathrm{c} \\ $$$$\mathrm{log}_{\mathrm{b}} \left(\mathrm{c}^{\mathrm{2}} +\mathrm{ca}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)\geqslant\mathrm{log}_{\mathrm{b}} \mathrm{3}+\mathrm{log}_{\mathrm{b}} \mathrm{c}+\mathrm{log}_{\mathrm{b}} \mathrm{a} \\ $$$$\mathrm{Adding}\:\mathrm{up}\:\mathrm{three}\:\mathrm{above}\:\mathrm{inequalities} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{get}: \\ $$$$\mathrm{LHS}\geqslant\mathrm{log}_{\mathrm{a}} \mathrm{3}+\mathrm{log}_{\mathrm{b}} \mathrm{3}+\mathrm{log}_{\mathrm{c}} \mathrm{3}+\left(\mathrm{log}_{\mathrm{a}} \mathrm{b}+\mathrm{log}_{\mathrm{b}} \mathrm{a}\right)+\left(\mathrm{log}_{\mathrm{b}} \mathrm{c}+\mathrm{log}_{\mathrm{c}} \mathrm{b}\right)+\left(\mathrm{log}_{\mathrm{c}} \mathrm{a}+\mathrm{log}_{\mathrm{a}} \mathrm{c}\right) \\ $$$$\geqslant\mathrm{log}_{\mathrm{a}} \mathrm{3}+\mathrm{log}_{\mathrm{b}} \mathrm{3}+\mathrm{log}_{\mathrm{c}} \mathrm{3}+\mathrm{6}\left(\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{since}\:\mathrm{log}_{\mathrm{x}} \mathrm{y}+\mathrm{log}_{\mathrm{y}} \mathrm{x}\geqslant\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{log}_{\mathrm{x}} \mathrm{y}.\mathrm{log}_{\mathrm{y}} \mathrm{x}\:}=\mathrm{2}\:\mathrm{due}\:\mathrm{to}\:\mathrm{log}_{\mathrm{x}} \mathrm{y}.\mathrm{log}_{\mathrm{y}} \mathrm{x}=\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{From}\:\mathrm{the}\:\mathrm{hypothesis}\:\mathrm{a}.\mathrm{b}.\mathrm{c}=\mathrm{3}\:\mathrm{we}\:\mathrm{get} \\ $$$$\mathrm{1}=\mathrm{log}_{\mathrm{3}} \mathrm{3}=\mathrm{log}_{\mathrm{3}} \left(\mathrm{a}.\mathrm{b}.\mathrm{c}\right)=\mathrm{log}_{\mathrm{3}} \mathrm{a}+\mathrm{log}_{\mathrm{3}} \mathrm{b}+\mathrm{log}_{\mathrm{3}} \mathrm{c} \\ $$$$\mathrm{Therefeore},\mathrm{apply}\:\mathrm{the}\:\mathrm{inequality}\:\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}\right)\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{y}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{z}}\right)\geqslant\mathrm{9}\left(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z}>\mathrm{0}\right)\:\mathrm{we}\:\mathrm{get}: \\ $$$$\mathrm{log}_{\mathrm{a}} \mathrm{3}+\mathrm{log}_{\mathrm{b}} \mathrm{3}+\mathrm{log}_{\mathrm{c}} \mathrm{3}\geqslant\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{log}_{\mathrm{3}} \mathrm{a}+\mathrm{log}_{\mathrm{3}} \mathrm{b}+\mathrm{log}_{\mathrm{3}} \mathrm{c}}=\mathrm{9}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\mathrm{From}\:\mathrm{the}\:\mathrm{inequalities}\:\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{and}\:\left(\mathrm{2}\right)\:\mathrm{we}\:\mathrm{obtain}: \\ $$$$\mathrm{LHS}\geqslant\mathrm{9}+\mathrm{6}=\mathrm{15}\left(\mathrm{q}.\mathrm{e}.\mathrm{d}\right) \\ $$$$\mathrm{The}\:\mathrm{equality}\:\mathrm{ocurrs}\:\mathrm{if}\:\mathrm{and}\:\mathrm{only}\:\mathrm{if} \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{a}}=\boldsymbol{\mathrm{b}}=\boldsymbol{\mathrm{c}}=\:^{\mathrm{3}} \sqrt{\mathrm{3}}\: \\ $$