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Question Number 105440 by Ar Brandon last updated on 28/Jul/20

$$\int \mathrm{tanx}\cdot \tan 2\mathrm{x}\cdot \tan 3\mathrm{x}\cdot \mathrm{dx}$$$$\mathrm{Any}\mathrm{way}\mathrm{to}\mathrm{solve}\mathrm{this}\mathrm{without}\mathrm{the}\mathrm{use}\mathrm{of}$$$$\mathrm{partial}\mathrm{fractions}?$$

Commented by som(math1967) last updated on 29/Jul/20

$$\tan 3\mathrm{x}=\frac{\tan 2\mathrm{x}+\mathrm{tanx}}{1-\tan 2\mathrm{xtanx}}$$$$\therefore \tan 3\mathrm{x}-\tan 2\mathrm{x}-\mathrm{tanx}=\tan 3\mathrm{xtan}2\mathrm{xtanx}$$$$\therefore \int \tan 3\mathrm{xtan}2\mathrm{xtanxdx}$$$$=\int \tan 3\mathrm{xdx}-\int \tan 2\mathrm{xdx}-\int \mathrm{tanxdx}=$$$$=\frac{1}{3}\mathrm{lnsec}3\mathrm{x}+\frac{1}{2}\mathrm{lncos}2\mathrm{x}+\mathrm{lncosx}+\mathrm{C}$$

Commented by Ar Brandon last updated on 29/Jul/20

$$\mathrm{Wow}!\mathrm{Thank}\mathrm{you}\mathrm{Sir}.\mathrm{You}\mathrm{understood}\mathrm{me}$$$$\mathrm{perfectly}.$$

Commented by som(math1967) last updated on 29/Jul/20

$$\mathrm{welcome}$$

Answered by Ar Brandon last updated on 28/Jul/20

$$\mathcal{I}=\int \mathrm{tanx}\cdot \tan 2\mathrm{x}\cdot \tan 3\mathrm{x}\cdot \mathrm{dx}$$$$=\int \mathrm{tanx}\cdot \frac{2\mathrm{tanx}}{1-{\tan }^2\mathrm{x}}\cdot \tan 3\mathrm{x}\cdot \mathrm{dx}$$$$=2\int \frac{{\tan }^2\mathrm{x}}{1-{\tan }^2\mathrm{x}}\cdot \tan 3\mathrm{x}\cdot \mathrm{dx}=-2\int \frac{(1-{\tan }^2\mathrm{x})-1}{1-{\tan }^2\mathrm{x}}\cdot \tan 3\mathrm{x}\cdot \mathrm{dx}$$$$=-2\int \{\tan 3\mathrm{x}-\frac{\tan 3\mathrm{x}}{1-{\tan }^2\mathrm{x}}\}\mathrm{dx}=\frac{2\ln \mid \cos 3\mathrm{x}\mid }{3}+2\int \frac{\tan 3\mathrm{x}}{1-{\tan }^2\mathrm{x}}\mathrm{dx}$$$$\tan 3\mathrm{x}=\frac{\tan 2\mathrm{x}+\mathrm{tanx}}{1-\tan 2\mathrm{x}\cdot \mathrm{tanx}}=\frac{\frac{2\mathrm{tanx}}{1-{\tan }^2\mathrm{x}}+\mathrm{tanx}}{1-\frac{2\mathrm{tanx}}{1-{\tan }^2\mathrm{x}}\mathrm{tanx}}$$$$=\frac{2\mathrm{tanx}+\mathrm{tanx}\cdot (1-{\tan }^2\mathrm{x})}{1-{\tan }^2\mathrm{x}-{2\tan }^2\mathrm{x}}=\frac{3\mathrm{tanx}-{\tan }^3\mathrm{x}}{1-{3\tan }^2\mathrm{x}}$$$$=\frac{\mathrm{tanx}({\tan }^2\mathrm{x}-3)}{{3\tan }^2\mathrm{x}-1}=\frac{1}{3}\cdot \frac{\mathrm{tanx}\cdot (({3\tan }^2\mathrm{x}-1)-8)}{{3\tan }^2\mathrm{x}-1}$$$$=\frac{1}{3}\cdot \{\frac{\mathrm{tanx}({3\tan }^2\mathrm{x}-1)}{{3\tan }^2\mathrm{x}-1}-\frac{8\mathrm{tanx}}{{3\tan }^2\mathrm{x}-1}\}$$$$=\frac{1}{3}\cdot \{\mathrm{tanx}-\frac{8\mathrm{tanx}}{{3\tan }^2\mathrm{x}-1}\}$$$$\Rightarrow \frac{\tan 3\mathrm{x}}{1-{\tan }^2\mathrm{x}}=\frac{1}{3}\{\frac{\mathrm{tanx}}{1-{\tan }^2\mathrm{x}}+\frac{8\mathrm{tanx}}{({3\tan }^2\mathrm{x}-1)({\tan }^2\mathrm{x}-1)}\}$$$$$$$$\mathrm{Here}\mathrm{is}\mathrm{my}\mathrm{try}.\mathrm{What}\mathrm{can}\mathrm{be}\mathrm{done}\mathrm{next}?$$

Commented by malwaan last updated on 29/Jul/20

$$trytousetheshortwaysir$$

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