Question Number 105488 by 175mohamed last updated on 29/Jul/20
$${if}\:{y}\:=\:{cos}\left({x}^{\mathrm{2}} \right)\:\:\:\:\:\:{then}\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:{y}^{\left({n}\right)} \:=\:......... \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 29/Jul/20
![y(x) =cos(x^2 ) =((e^(ix^2 ) +e^(−ix^2 ) )/2) ⇒y^((n)) (x) =(1/2)(e^(ix^2 ) )^((n)) +(1/2)(e^(−ix^2 ) )^()n)) let w(x) =(e^(ix^2 ) ) we have w^((1)) (x) =2ix e^(ix^2 ) w^((2)) (x) =2i e^(ix^2 ) +2ix(2ix) e^(ix^2 ) =(−4x^2 +2i)e^(ix^2 ) ⇒ w^((n)) =p_n (x) e^(ix^2 ) with p_n ∈ C[x] we have w^((n+1)) (x) =p_n ^′ (x)e^(ix^2 ) +2ix p_n (x)e^(ix^2 ) =(2ip_n (x)+p_n ^′ (x))e^(ix^2 ) ⇒ ⇒p_(n+1) (x) =2ip_n (x)+p_n ^′ (x) let ϕ(x) =e^(−ix^2 ) ⇒ϕ^((1)) (x) =−2ix e^(−ix^2 ) and ϕ^((2)) (x) =−2i e^(−ix^2 ) +(−2ix)(−2ix) e^(−ix^2 ) =(−4x^2 −2i)e^(−ix^2 ) ⇒ ϕ^((n)) (x) =q_n (x)e^(−ix^2 ) (q_n ∈C [x]) we have ϕ^((n+1)) (x) =q_n ^′ (x)e^(−ix^2 ) −2ixq_n (x)e^(−ix^2 ) =(q_n ^′ (x)−2iq_n (x))e^(−ix^2 ) ⇒q_(n+1) =q_n ^(′ ) −2iq_n (x) and we get y^((n)) (x) =w^((n)) (x)+ϕ^((n)) (x)](Q105547.png)
$$\mathrm{y}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{cos}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\:=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{ix}^{\mathrm{2}} } +\mathrm{e}^{−\mathrm{ix}^{\mathrm{2}} } }{\mathrm{2}}\:\Rightarrow\mathrm{y}^{\left(\mathrm{n}\right)} \left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{ix}^{\mathrm{2}} } \right)^{\left(\mathrm{n}\right)} \:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{e}^{−\mathrm{ix}^{\mathrm{2}} } \right)^{\left.\right)\left.\mathrm{n}\right)} \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{w}\left(\mathrm{x}\right)\:=\left(\mathrm{e}^{\mathrm{ix}^{\mathrm{2}} } \right)\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{w}^{\left(\mathrm{1}\right)} \left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{2ix}\:\mathrm{e}^{\mathrm{ix}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{w}^{\left(\mathrm{2}\right)} \left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{2i}\:\mathrm{e}^{\mathrm{ix}^{\mathrm{2}} } \:\:+\mathrm{2ix}\left(\mathrm{2ix}\right)\:\mathrm{e}^{\mathrm{ix}^{\mathrm{2}} } \:=\left(−\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2i}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{ix}^{\mathrm{2}} } \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{w}^{\left(\mathrm{n}\right)} \:=\mathrm{p}_{\mathrm{n}} \left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{e}^{\mathrm{ix}^{\mathrm{2}} } \:\:\mathrm{with}\:\mathrm{p}_{\mathrm{n}} \:\in\:\mathrm{C}\left[\mathrm{x}\right]\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$$$\mathrm{w}^{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)} \left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{p}_{\mathrm{n}} ^{'} \left(\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{ix}^{\mathrm{2}} } \:\:+\mathrm{2ix}\:\mathrm{p}_{\mathrm{n}} \left(\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{ix}^{\mathrm{2}} } \:=\left(\mathrm{2ip}_{\mathrm{n}} \left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{p}_{\mathrm{n}} ^{'} \left(\mathrm{x}\right)\right)\mathrm{e}^{\mathrm{ix}^{\mathrm{2}} } \:\Rightarrow \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{p}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{2ip}_{\mathrm{n}} \left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{p}_{\mathrm{n}} ^{'} \left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{let}\:\varphi\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{e}^{−\mathrm{ix}^{\mathrm{2}} } \:\Rightarrow\varphi^{\left(\mathrm{1}\right)} \left(\mathrm{x}\right)\:=−\mathrm{2ix}\:\mathrm{e}^{−\mathrm{ix}^{\mathrm{2}} } \:\mathrm{and} \\ $$$$\varphi^{\left(\mathrm{2}\right)} \left(\mathrm{x}\right)\:=−\mathrm{2i}\:\mathrm{e}^{−\mathrm{ix}^{\mathrm{2}} } \:+\left(−\mathrm{2ix}\right)\left(−\mathrm{2ix}\right)\:\mathrm{e}^{−\mathrm{ix}^{\mathrm{2}} } \:=\left(−\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2i}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{ix}^{\mathrm{2}} \:} \:\Rightarrow \\ $$$$\varphi^{\left(\mathrm{n}\right)} \left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{q}_{\mathrm{n}} \left(\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{ix}^{\mathrm{2}} } \:\:\left(\mathrm{q}_{\mathrm{n}} \:\in\mathrm{C}\:\left[\mathrm{x}\right]\right)\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\varphi^{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)} \left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{q}_{\mathrm{n}} ^{'} \left(\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{ix}^{\mathrm{2}} } −\mathrm{2ixq}_{\mathrm{n}} \left(\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{ix}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\left(\mathrm{q}_{\mathrm{n}} ^{'} \left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{2iq}_{\mathrm{n}} \left(\mathrm{x}\right)\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{ix}^{\mathrm{2}} } \:\Rightarrow\mathrm{q}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} =\mathrm{q}_{\mathrm{n}} ^{'\:} \:−\mathrm{2iq}_{\mathrm{n}} \left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{and}\:\mathrm{we}\:\mathrm{get} \\ $$$$\mathrm{y}^{\left(\mathrm{n}\right)} \left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{w}^{\left(\mathrm{n}\right)} \left(\mathrm{x}\right)+\varphi^{\left(\mathrm{n}\right)} \left(\mathrm{x}\right) \\ $$