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Question Number 105878 by bemath last updated on 01/Aug/20

(d^3 y/dx^3 ) + 3 (d^2 y/dx^2 ) + 2 (dy/dx) = x^2

$$\frac{{d}^{\mathrm{3}} {y}}{{dx}^{\mathrm{3}} }\:+\:\mathrm{3}\:\frac{{d}^{\mathrm{2}} {y}}{{dx}^{\mathrm{2}} }\:+\:\mathrm{2}\:\frac{{dy}}{{dx}}\:=\:{x}^{\mathrm{2}} \\ $$

Answered by bobhans last updated on 01/Aug/20

HE : ♭^3 +3♭^2 +2♭ = 0 ♭ (♭^2 +3♭+2) = 0 → { ((♭=0)),((♭=−1)),((♭=−2)) :} Y_h = A+Be^(−x) +Ce^(−2x) Particular solution. by guessing Y_p = px^3 +qx^2 +rx Y_p ′=3px^2 +2qx+r Y_p ′′ = 6px+2q ; Y_p ′′′= 6p comparing coefficient 6p+3(6px+2q)+2(3px^2 +2qx+r) = x^2 6px^2 +(18p+4q)x+6p+6q+2r = x^2 { ((6p = 1 →p=(1/6))),((18p+4q=0→q=−((9.((1/6)))/2)=−(3/4))),((r=−3p−3q=−(1/2)+(9/4)=(7/4))) :} Y_p = (x^3 /6)−((3x^2 )/4)+((7x)/4) General solution Y_g = A+Be^(−x) +Ce^(−2x) +(x^3 /6)−((3x^2 )/4)+((7x)/4) ⊸

$$\mathrm{HE}\::\:\flat^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}\flat^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\flat\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\flat\:\left(\flat^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\flat+\mathrm{2}\right)\:=\:\mathrm{0}\:\rightarrow\begin{cases}{\flat=\mathrm{0}}\\{\flat=−\mathrm{1}}\\{\flat=−\mathrm{2}}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{Y}_{\mathrm{h}} \:=\:\mathrm{A}+\mathrm{Be}^{−\mathrm{x}} +\mathrm{Ce}^{−\mathrm{2x}} \\ $$$$\mathrm{Particular}\:\mathrm{solution}.\:\mathrm{by}\:\mathrm{guessing}\: \\ $$$$\mathrm{Y}_{\mathrm{p}} =\:\mathrm{px}^{\mathrm{3}} +\mathrm{qx}^{\mathrm{2}} +\mathrm{rx} \\ $$$$\mathrm{Y}_{\mathrm{p}} '=\mathrm{3px}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2qx}+\mathrm{r} \\ $$$$\mathrm{Y}_{\mathrm{p}} ''\:=\:\mathrm{6px}+\mathrm{2q}\:;\:\mathrm{Y}_{\mathrm{p}} '''=\:\mathrm{6p} \\ $$$$\mathrm{comparing}\:\mathrm{coefficient}\: \\ $$$$\mathrm{6p}+\mathrm{3}\left(\mathrm{6px}+\mathrm{2q}\right)+\mathrm{2}\left(\mathrm{3px}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2qx}+\mathrm{r}\right)\:=\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{6px}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{18p}+\mathrm{4q}\right)\mathrm{x}+\mathrm{6p}+\mathrm{6q}+\mathrm{2r}\:=\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\begin{cases}{\mathrm{6p}\:=\:\mathrm{1}\:\rightarrow\mathrm{p}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}}\\{\mathrm{18p}+\mathrm{4q}=\mathrm{0}\rightarrow\mathrm{q}=−\frac{\mathrm{9}.\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\right)}{\mathrm{2}}=−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}}\\{\mathrm{r}=−\mathrm{3p}−\mathrm{3q}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{4}}=\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{4}}}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{Y}_{\mathrm{p}} =\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{6}}−\frac{\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{7x}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\mathcal{G}\mathrm{eneral}\:\mathrm{solution} \\ $$$$\mathrm{Y}_{\mathrm{g}} =\:\mathrm{A}+\mathrm{Be}^{−\mathrm{x}} +\mathrm{Ce}^{−\mathrm{2x}} +\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{6}}−\frac{\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{7x}}{\mathrm{4}}\:\multimap \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 02/Aug/20

y^((3)) +3y^((2)) +2y^((1)) =x^2 let y^′ =z ⇒z^(′′) +3z^′ +2z =x^2 h→r^2 +3r+2 =0→Δ =9−8=1 ⇒r_1 =((−3+1)/2) =−1 r_2 =((−3−1)/2) =−2 ⇒z_h =ae^(−x) +be^(−2x) =az_1 +bz_2 W(z_1 ,z_2 ) = determinant (((e^(−x) e^(−2x) )),((−e^(−x) −2e^(−2x) )))=−2e^(−3x) +e^(−3x) =−e^(−3x) ≠0 W_1 = determinant (((0 e^(−2x) )),((x^2 −2e^(−2x) )))=−x^2 e^(−2x) W_2 = determinant (((e^(−x) 0)),((−e^(−x) x^2 )))=x^2 e^(−x) v_1 =∫ (w_1 /w) dx =−∫ ((x^2 e^(−2x) )/(−e^(−3x) ))dx =∫ x^2 e^x dx =x^2 e^x −∫ 2x e^x dx =x^2 e^x −2 { xe^x −∫ e^x dx} =(x^2 −2x+2)e^x v_2 =∫ (w_2 /w)dx =∫ ((x^2 e^(−x) )/(−e^(−3x) ))dx =−∫ x^2 e^(2x) =−{ (x^2 /2)e^(2x) −∫ 2x×(1/2)e^(2x) dx} =−{(x^2 /2)e^(2x) −{ (x/2)e^(2x) −∫ (1/2)e^(2x) dx}} =−{(x^2 /2)e^(2x) −(x/2)e^(2x) +(1/4)e^(2x) } ={−(x^2 /2)+(x/2)−(1/4)}e^(2x) z_p =z_1 v_(1 ) +z_2 v_2 =e^(−x) (x^2 −2x+2)e^x +e^(−2x) (−(x^2 /2)+(x/2)−(1/4))e^(2x) =x^2 −2x+2 −(x^2 /2) +(x/2)−(1/4) =(x^2 /2)−(3/2)x +(7/4) ⇒z =z_x +z_p =ae^(−x) +be^(−2x) +(x^2 /2)−((3x)/2) +(7/4) =y^′ ⇒ y =∫ z(x)dx =−a e^(−x) −(b/2)e^(−2x) +(x^3 /6)−(3/4)x^2 +(7/4)x +C

$$\mathrm{y}^{\left(\mathrm{3}\right)} \:+\mathrm{3y}^{\left(\mathrm{2}\right)} \:+\mathrm{2y}^{\left(\mathrm{1}\right)} \:=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{let}\:\mathrm{y}^{'} \:=\mathrm{z}\:\Rightarrow\mathrm{z}^{''} \:+\mathrm{3z}^{'} \:+\mathrm{2z}\:=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{h}\rightarrow\mathrm{r}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3r}+\mathrm{2}\:=\mathrm{0}\rightarrow\Delta\:=\mathrm{9}−\mathrm{8}=\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{r}_{\mathrm{1}} =\frac{−\mathrm{3}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:=−\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{r}_{\mathrm{2}} =\frac{−\mathrm{3}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:=−\mathrm{2}\:\Rightarrow\mathrm{z}_{\mathrm{h}} =\mathrm{ae}^{−\mathrm{x}} \:+\mathrm{be}^{−\mathrm{2x}} \:\:=\mathrm{az}_{\mathrm{1}} \:+\mathrm{bz}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{W}\left(\mathrm{z}_{\mathrm{1}} ,\mathrm{z}_{\mathrm{2}} \right)\:=\begin{vmatrix}{\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} }\\{−\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:−\mathrm{2e}^{−\mathrm{2x}} }\end{vmatrix}=−\mathrm{2e}^{−\mathrm{3x}} +\mathrm{e}^{−\mathrm{3x}} \:=−\mathrm{e}^{−\mathrm{3x}} \:\neq\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{W}_{\mathrm{1}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{0}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} }\\{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:−\mathrm{2e}^{−\mathrm{2x}} }\end{vmatrix}=−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \\ $$$$\mathrm{W}_{\mathrm{2}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}}\\{−\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\end{vmatrix}=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \\ $$$$\mathrm{v}_{\mathrm{1}} =\int\:\frac{\mathrm{w}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{w}}\:\mathrm{dx}\:=−\int\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} }{−\mathrm{e}^{−\mathrm{3x}} }\mathrm{dx}\:=\int\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{dx} \\ $$$$=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{e}^{\mathrm{x}} −\int\:\mathrm{2x}\:\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \mathrm{dx}\:=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{e}^{\mathrm{x}} −\mathrm{2}\:\left\{\:\mathrm{xe}^{\mathrm{x}} −\int\:\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \mathrm{dx}\right\} \\ $$$$=\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{2}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \\ $$$$\mathrm{v}_{\mathrm{2}} =\int\:\frac{\mathrm{w}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{w}}\mathrm{dx}\:\:=\int\:\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }{−\mathrm{e}^{−\mathrm{3x}} }\mathrm{dx}\:=−\int\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \\ $$$$=−\left\{\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} −\int\:\mathrm{2x}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \:\mathrm{dx}\right\}\:=−\left\{\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} −\left\{\:\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} −\int\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \mathrm{dx}\right\}\right\} \\ $$$$=−\left\{\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} −\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \right\}\:=\left\{−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right\}\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \\ $$$$\mathrm{z}_{\mathrm{p}} =\mathrm{z}_{\mathrm{1}} \mathrm{v}_{\mathrm{1}\:} \:+\mathrm{z}_{\mathrm{2}} \mathrm{v}_{\mathrm{2}} =\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{2}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:+\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \left(−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \\ $$$$=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{2}\:−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\:+\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:=\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\:\:+\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{z}\:=\mathrm{z}_{\mathrm{x}} \:+\mathrm{z}_{\mathrm{p}} =\mathrm{ae}^{−\mathrm{x}} \:+\mathrm{be}^{−\mathrm{2x}} \:+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{3x}}{\mathrm{2}}\:+\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{4}}\:=\mathrm{y}^{'} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{y}\:=\int\:\mathrm{z}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\:=−\mathrm{a}\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} −\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} +\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{6}}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{4}}\mathrm{x}\:+\mathrm{C} \\ $$

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