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Question Number 105943 by bachamohamed last updated on 01/Aug/20

∫ln(1+𝛂(√(x^2 βˆ’1)))dx=?

$$\:\:\:\:\:\int\boldsymbol{{ln}}\left(\mathrm{1}+\boldsymbol{\alpha}\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} βˆ’\mathrm{1}}\right)\mathrm{dx}=? \\ $$

Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 01/Aug/20

∫log(1+Ξ±(√(x^2 βˆ’1)))dx=I(Ξ±) I^β€² (Ξ±)=∫((√(x^2 βˆ’1))/(1+Ξ±(√(x^2 βˆ’1))))dx I^β€² (Ξ±)=∫((√(sin^2 ΞΈβˆ’1))/(1+Ξ±(√(sin^2 ΞΈβˆ’1))))dx x=sinΞΈ ,1=cosΞΈ(dΞΈ/dx) I^β€² (Ξ±)=∫((icos^2 ΞΈ)/(1+Ξ±i cosΞΈ))dΞΈ .....

$$\int{log}\left(\mathrm{1}+\alpha\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} βˆ’\mathrm{1}}\right){dx}={I}\left(\alpha\right) \\ $$$${I}^{'} \left(\alpha\right)=\int\frac{\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} βˆ’\mathrm{1}}}{\mathrm{1}+\alpha\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} βˆ’\mathrm{1}}}{dx} \\ $$$$\mathrm{I}^{'} \left(\alpha\right)=\int\frac{\sqrt{{sin}^{\mathrm{2}} \thetaβˆ’\mathrm{1}}}{\mathrm{1}+\alpha\sqrt{{sin}^{\mathrm{2}} \thetaβˆ’\mathrm{1}}}{dx}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{x}={sin}\theta\:\:,\mathrm{1}={cos}\theta\frac{{d}\theta}{{dx}} \\ $$$$\mathrm{I}^{'} \left(\alpha\right)=\int\frac{{icos}^{\mathrm{2}} \theta}{\mathrm{1}+\alpha{i}\:{cos}\theta}{d}\theta \\ $$$$..... \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 01/Aug/20

let f(t) =∫ln(1+t(√(x^2 βˆ’1)))dx β‡’ f^β€² (t) =∫ ((√(x^2 βˆ’1))/(1+t(√(x^2 βˆ’1))))dx =(1/t)∫ ((1+t(√(x^2 βˆ’1))βˆ’1)/(1+t(√(x^2 βˆ’1))))dx =(x/t) βˆ’(1/t) ∫ (dx/(1+t(√(x^2 βˆ’1)))) we do the changement x =chu β‡’ ∫ (dx/(1+t(√(x^2 βˆ’1)))) =∫ ((shu du)/(1+t sh(u))) =∫ (((e^u βˆ’e^(βˆ’u) )/2)/(1+t((e^u βˆ’e^(βˆ’u) )/2))) du =∫ ((e^u βˆ’e^(βˆ’u) )/(2 +t e^u βˆ’t e^(βˆ’u) )) du =_(e^u =z) ∫ ((zβˆ’z^(βˆ’1) )/(2+tzβˆ’tz^(βˆ’1) ))(dz/z) =∫ ((zβˆ’z^(βˆ’1) )/(2z+tz^2 βˆ’t))dz =∫ ((z^2 βˆ’1)/(z(tz^2 +2zβˆ’t)))dz let decompose F(z) =((z^2 βˆ’1)/(z(tz^2 +2zβˆ’t))) tz^2 +2zβˆ’t =0β†’Ξ”^β€² =1+t^2 β‡’ z_1 =((βˆ’1+(√(1+t^2 )))/t) and z_2 =((βˆ’1βˆ’(√(1+t^2 )))/t) F(z) =((z^2 βˆ’1)/(tz(zβˆ’z_1 )(zβˆ’z_2 ))) =((a(t))/z) +((b(t))/(zβˆ’z_1 )) +((c(t))/(zβˆ’z_2 )) a(t) =((βˆ’1)/(t(βˆ’1))) =(1/t) , b(t) =((z_1 ^2 βˆ’1)/(tz_1 (z_1 βˆ’z_2 ))) , c(t) =((z_2 ^2 βˆ’1)/(tz_2 (z_2 βˆ’z_1 ))) β‡’ ∫ (dx/(1+t(√(x^2 βˆ’1)))) =a(t)ln∣z∣ +b(t)ln∣zβˆ’z_1 ∣ +c(t)ln∣zβˆ’z_2 ∣ +c β‡’ β‡’f(t) =xln(t)βˆ’(1/t) (∫ a(t)ln∣z∣dt +∫ b(t)ln∣zβˆ’z_1 ∣ +∫c(t)ln∣zβˆ’z_2 ∣dt +c)

$$\mathrm{let}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)\:=\int\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} βˆ’\mathrm{1}}\right)\mathrm{dx}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{t}\right)\:=\int\:\frac{\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} βˆ’\mathrm{1}}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} βˆ’\mathrm{1}}}\mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\int\:\frac{\mathrm{1}+\mathrm{t}\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} βˆ’\mathrm{1}}βˆ’\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} βˆ’\mathrm{1}}}\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{t}}\:βˆ’\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\:\int\:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} βˆ’\mathrm{1}}}\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{do}\:\mathrm{the}\:\mathrm{changement}\:\mathrm{x}\:=\mathrm{chu}\:\Rightarrow \\ $$$$\int\:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} βˆ’\mathrm{1}}}\:=\int\:\:\:\frac{\mathrm{shu}\:\mathrm{du}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}\:\mathrm{sh}\left(\mathrm{u}\right)}\:=\int\:\:\frac{\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{u}} βˆ’\mathrm{e}^{βˆ’\mathrm{u}} }{\mathrm{2}}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{u}} βˆ’\mathrm{e}^{βˆ’\mathrm{u}} }{\mathrm{2}}}\:\mathrm{du} \\ $$$$=\int\:\:\:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{u}} βˆ’\mathrm{e}^{βˆ’\mathrm{u}} }{\mathrm{2}\:+\mathrm{t}\:\mathrm{e}^{\mathrm{u}} βˆ’\mathrm{t}\:\mathrm{e}^{βˆ’\mathrm{u}} }\:\mathrm{du}\:=_{\mathrm{e}^{\mathrm{u}} \:=\mathrm{z}} \:\:\:\int\:\:\frac{\mathrm{z}βˆ’\mathrm{z}^{βˆ’\mathrm{1}} }{\mathrm{2}+\mathrm{tz}βˆ’\mathrm{tz}^{βˆ’\mathrm{1}} }\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{z}} \\ $$$$=\int\:\:\frac{\mathrm{z}βˆ’\mathrm{z}^{βˆ’\mathrm{1}} }{\mathrm{2z}+\mathrm{tz}^{\mathrm{2}} βˆ’\mathrm{t}}\mathrm{dz}\:=\int\:\frac{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} βˆ’\mathrm{1}}{\mathrm{z}\left(\mathrm{tz}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2z}βˆ’\mathrm{t}\right)}\mathrm{dz}\:\:\mathrm{let}\:\mathrm{decompose}\: \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{z}\right)\:=\frac{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} βˆ’\mathrm{1}}{\mathrm{z}\left(\mathrm{tz}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2z}βˆ’\mathrm{t}\right)} \\ $$$$\mathrm{tz}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2z}βˆ’\mathrm{t}\:=\mathrm{0}\rightarrow\Delta^{'} \:=\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:\Rightarrow\:\mathrm{z}_{\mathrm{1}} =\frac{βˆ’\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{t}}\:\mathrm{and}\:\mathrm{z}_{\mathrm{2}} =\frac{βˆ’\mathrm{1}βˆ’\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{t}} \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{z}\right)\:=\frac{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} βˆ’\mathrm{1}}{\mathrm{tz}\left(\mathrm{z}βˆ’\mathrm{z}_{\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{z}βˆ’\mathrm{z}_{\mathrm{2}} \right)}\:=\frac{\mathrm{a}\left(\mathrm{t}\right)}{\mathrm{z}}\:+\frac{\mathrm{b}\left(\mathrm{t}\right)}{\mathrm{z}βˆ’\mathrm{z}_{\mathrm{1}} }\:+\frac{\mathrm{c}\left(\mathrm{t}\right)}{\mathrm{z}βˆ’\mathrm{z}_{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{a}\left(\mathrm{t}\right)\:=\frac{βˆ’\mathrm{1}}{\mathrm{t}\left(βˆ’\mathrm{1}\right)}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\:,\:\mathrm{b}\left(\mathrm{t}\right)\:=\frac{\mathrm{z}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} βˆ’\mathrm{1}}{\mathrm{tz}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{z}_{\mathrm{1}} βˆ’\mathrm{z}_{\mathrm{2}} \right)}\:,\:\:\mathrm{c}\left(\mathrm{t}\right)\:=\frac{\mathrm{z}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} βˆ’\mathrm{1}}{\mathrm{tz}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{z}_{\mathrm{2}} βˆ’\mathrm{z}_{\mathrm{1}} \right)}\:\Rightarrow \\ $$$$\int\:\:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} βˆ’\mathrm{1}}}\:=\mathrm{a}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{ln}\mid\mathrm{z}\mid\:+\mathrm{b}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{ln}\mid\mathrm{z}βˆ’\mathrm{z}_{\mathrm{1}} \mid\:+\mathrm{c}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{ln}\mid\mathrm{z}βˆ’\mathrm{z}_{\mathrm{2}} \mid\:+\mathrm{c}\:\Rightarrow \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)\:=\mathrm{xln}\left(\mathrm{t}\right)βˆ’\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\:\left(\int\:\mathrm{a}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{ln}\mid\mathrm{z}\mid\mathrm{dt}\:+\int\:\mathrm{b}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{ln}\mid\mathrm{z}βˆ’\mathrm{z}_{\mathrm{1}} \mid\:+\int\mathrm{c}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{ln}\mid\mathrm{z}βˆ’\mathrm{z}_{\mathrm{2}} \mid\mathrm{dt}\:+\mathrm{c}\right) \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 01/Aug/20

another way by parys I =xln(1+Ξ±(√(x^2 βˆ’1)))βˆ’βˆ« xΓ—((Ξ±x)/((√(x^2 βˆ’1))(1+Ξ±(√(x^2 βˆ’1)))))dx =xln(1+Ξ±(√(x^2 βˆ’1))) βˆ’Ξ± ∫ (x^2 /((√(x^2 βˆ’1))(1+Ξ±(√(x^2 βˆ’1)))))dx changement x =ch(t) give ∫ (x^2 /((√(x^2 βˆ’1))(1+Ξ±(√(x^2 βˆ’1)))))dx =∫ ((ch^2 (t))/(sh(t)(1+Ξ± sht)))sh(t)dt =∫ ((ch^2 (t))/(1+Ξ± sh(t)))dt =(1/2)∫ ((1+ch(2t))/(1+Ξ±sh(t)dt))dt =(1/2)∫ ((1+((e^(2t) +e^(βˆ’2t) )/2))/(1+Ξ±((e^t βˆ’e^(βˆ’t) )/2))) dt =(1/2)∫ ((2+e^(2t) +e^(βˆ’2t) )/(2+Ξ±e^t βˆ’Ξ±e^(βˆ’t) ))dt =_(e^t =u) (1/2) ∫((2+u^2 +u^(βˆ’2) )/(2+Ξ±uβˆ’Ξ±u^(βˆ’1) ))(du/u) =(1/2)∫ ((2+u^2 +u^(βˆ’2) )/(2u+Ξ±u^2 βˆ’Ξ±)) du =(1/2)∫ ((2u^2 +u^4 +1)/(u^2 (Ξ±u^2 +2uβˆ’Ξ±)))du let decompose F(u) =((u^4 +2u^2 +1)/(u^2 (Ξ±u^2 +2uβˆ’Ξ±))) β‡’F(u) =((u^4 +2u^2 +1)/(Ξ±u^4 +2u^3 βˆ’Ξ±u^2 )) =(1/Ξ±)((Ξ±u^4 +2Ξ±u^2 +Ξ±)/(Ξ±u^4 +2u^3 βˆ’Ξ±u^2 )) =(1/Ξ±)Γ—((Ξ±u^4 +2u^3 βˆ’Ξ±u^2 βˆ’2u^3 +Ξ±u^2 +2Ξ±u^2 +Ξ±)/((...)))

$$\mathrm{another}\:\mathrm{way}\:\mathrm{by}\:\mathrm{parys}\: \\ $$$$\mathrm{I}\:=\mathrm{xln}\left(\mathrm{1}+\alpha\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} βˆ’\mathrm{1}}\right)βˆ’\int\:\:\mathrm{x}Γ—\frac{\alpha\mathrm{x}}{\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} βˆ’\mathrm{1}}\left(\mathrm{1}+\alpha\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} βˆ’\mathrm{1}}\right)}\mathrm{dx} \\ $$$$=\mathrm{xln}\left(\mathrm{1}+\alpha\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} βˆ’\mathrm{1}}\right)\:βˆ’\alpha\:\int\:\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} βˆ’\mathrm{1}}\left(\mathrm{1}+\alpha\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} βˆ’\mathrm{1}}\right)}\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{changement}\:\mathrm{x}\:=\mathrm{ch}\left(\mathrm{t}\right)\:\mathrm{give}\: \\ $$$$\int\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} βˆ’\mathrm{1}}\left(\mathrm{1}+\alpha\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} βˆ’\mathrm{1}}\right)}\mathrm{dx}\:=\int\:\frac{\mathrm{ch}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{t}\right)}{\mathrm{sh}\left(\mathrm{t}\right)\left(\mathrm{1}+\alpha\:\mathrm{sht}\right)}\mathrm{sh}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt} \\ $$$$=\int\:\:\frac{\mathrm{ch}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{t}\right)}{\mathrm{1}+\alpha\:\mathrm{sh}\left(\mathrm{t}\right)}\mathrm{dt}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\:\frac{\mathrm{1}+\mathrm{ch}\left(\mathrm{2t}\right)}{\mathrm{1}+\alpha\mathrm{sh}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt}}\mathrm{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\:\frac{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{2t}} +\mathrm{e}^{βˆ’\mathrm{2t}} }{\mathrm{2}}}{\mathrm{1}+\alpha\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{t}} βˆ’\mathrm{e}^{βˆ’\mathrm{t}} }{\mathrm{2}}}\:\mathrm{dt}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\frac{\mathrm{2}+\mathrm{e}^{\mathrm{2t}} \:+\mathrm{e}^{βˆ’\mathrm{2t}} }{\mathrm{2}+\alpha\mathrm{e}^{\mathrm{t}} βˆ’\alpha\mathrm{e}^{βˆ’\mathrm{t}} }\mathrm{dt} \\ $$$$=_{\mathrm{e}^{\mathrm{t}} \:=\mathrm{u}} \:\:\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\int\frac{\mathrm{2}+\mathrm{u}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{u}^{βˆ’\mathrm{2}} }{\mathrm{2}+\alpha\mathrm{u}βˆ’\alpha\mathrm{u}^{βˆ’\mathrm{1}} }\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{u}}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\:\frac{\mathrm{2}+\mathrm{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{u}^{βˆ’\mathrm{2}} }{\mathrm{2u}+\alpha\mathrm{u}^{\mathrm{2}} βˆ’\alpha}\:\mathrm{du} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\frac{\mathrm{2u}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{u}^{\mathrm{4}} \:+\mathrm{1}}{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} \left(\alpha\mathrm{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2u}βˆ’\alpha\right)}\mathrm{du}\:\:\mathrm{let}\:\mathrm{decompose}\: \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{u}\right)\:=\frac{\mathrm{u}^{\mathrm{4}} \:+\mathrm{2u}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} \left(\alpha\mathrm{u}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2u}βˆ’\alpha\right)}\:\Rightarrow\mathrm{F}\left(\mathrm{u}\right)\:=\frac{\mathrm{u}^{\mathrm{4}} \:+\mathrm{2u}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}{\alpha\mathrm{u}^{\mathrm{4}} \:+\mathrm{2u}^{\mathrm{3}} \:βˆ’\alpha\mathrm{u}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\alpha}\frac{\alpha\mathrm{u}^{\mathrm{4}} \:+\mathrm{2}\alpha\mathrm{u}^{\mathrm{2}} \:+\alpha}{\alpha\mathrm{u}^{\mathrm{4}} \:+\mathrm{2u}^{\mathrm{3}} βˆ’\alpha\mathrm{u}^{\mathrm{2}} }\:=\frac{\mathrm{1}}{\alpha}Γ—\frac{\alpha\mathrm{u}^{\mathrm{4}} \:+\mathrm{2u}^{\mathrm{3}} βˆ’\alpha\mathrm{u}^{\mathrm{2}} βˆ’\mathrm{2u}^{\mathrm{3}} +\alpha\mathrm{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\alpha\mathrm{u}^{\mathrm{2}} +\alpha}{\left(...\right)} \\ $$$$ \\ $$

Commented by mathmax by abdo last updated on 01/Aug/20

F(u) =(1/Ξ±) +(1/Ξ±)Γ—((βˆ’2u^3 +3Ξ±u^2 +Ξ±)/(Ξ±u^4 +2u^3 βˆ’Ξ±u^2 )) let decompose w(u) =((βˆ’2u^3 +3Ξ±u^2 +Ξ±)/(u^2 (Ξ±u^2 +2uβˆ’Ξ±))) Ξ±u^2 +2uβˆ’Ξ± =0β†’Ξ”^β€² =1+Ξ±^2 β‡’u_1 =((βˆ’1+(√(1+Ξ±^2 )))/Ξ±) and u_2 =((βˆ’1βˆ’(√(1+Ξ±^2 )))/Ξ±) β‡’w(u) =((βˆ’2u^3 +3Ξ±u^2 +Ξ±)/(Ξ±u^2 (uβˆ’u_1 )(uβˆ’u_2 ))) =(a/u)+(b/u^2 ) +(c/(uβˆ’u_1 )) +(d/(uβˆ’u_2 )) ...be continued....

$$\mathrm{F}\left(\mathrm{u}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\alpha}\:+\frac{\mathrm{1}}{\alpha}Γ—\frac{βˆ’\mathrm{2u}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{3}\alpha\mathrm{u}^{\mathrm{2}} \:+\alpha}{\alpha\mathrm{u}^{\mathrm{4}} \:+\mathrm{2u}^{\mathrm{3}} βˆ’\alpha\mathrm{u}^{\mathrm{2}} }\:\:\mathrm{let}\:\mathrm{decompose}\: \\ $$$$\mathrm{w}\left(\mathrm{u}\right)\:=\frac{βˆ’\mathrm{2u}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{3}\alpha\mathrm{u}^{\mathrm{2}} \:+\alpha}{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} \left(\alpha\mathrm{u}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2u}βˆ’\alpha\right)} \\ $$$$\alpha\mathrm{u}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2u}βˆ’\alpha\:=\mathrm{0}\rightarrow\Delta^{'} \:=\mathrm{1}+\alpha^{\mathrm{2}} \:\Rightarrow\mathrm{u}_{\mathrm{1}} =\frac{βˆ’\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{1}+\alpha^{\mathrm{2}} }}{\alpha}\:\mathrm{and} \\ $$$$\mathrm{u}_{\mathrm{2}} =\frac{βˆ’\mathrm{1}βˆ’\sqrt{\mathrm{1}+\alpha^{\mathrm{2}} }}{\alpha}\:\Rightarrow\mathrm{w}\left(\mathrm{u}\right)\:=\frac{βˆ’\mathrm{2u}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{3}\alpha\mathrm{u}^{\mathrm{2}} \:+\alpha}{\alpha\mathrm{u}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{u}βˆ’\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{u}βˆ’\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{u}}+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{u}βˆ’\mathrm{u}_{\mathrm{1}} }\:+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{u}βˆ’\mathrm{u}_{\mathrm{2}} }\:\:\:...\mathrm{be}\:\mathrm{continued}.... \\ $$

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