Question Number 10662 by FilupS last updated on 22/Feb/17
$$\mathrm{determine}\:\mathrm{if}: \\ $$ $$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{s}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{{s}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}^{{s}} }+...\geqslant\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}^{{s}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}^{{s}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}^{{s}} }+... \\ $$ $$\mathrm{or}: \\ $$ $$\underset{\underset{{n}\geqslant\mathrm{1}} {{n}\in\mathbb{P}}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}^{{s}} }\geqslant\underset{\underset{{n}\geqslant\mathrm{1}} {{n}\notin\mathbb{P}}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}^{{s}} },\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{Re}\left({s}\right)>\mathrm{1} \\ $$ $$\: \\ $$ $$\mathrm{note}: \\ $$ $$\underset{\underset{{n}\geqslant\mathrm{1}} {{n}\in\mathbb{P}}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}^{{s}} }+\underset{\underset{{n}\geqslant\mathrm{1}} {{n}\notin\mathbb{P}}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}^{{s}} }=\zeta\left({s}\right) \\ $$