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Question Number 106816 by bemath last updated on 07/Aug/20

prove by mathematical induction (1) n^2 ≤ 2^n ; n ≥ 4 (2) (n+1)^2 < 2n^2 ; n ≥ 3 (3) 2^n −3 ≥ 2^(n−2) ; n ≥ 5 @bemath@

$$\mathrm{prove}\:\mathrm{by}\:\mathrm{mathematical}\:\mathrm{induction} \\ $$ $$\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \:\leqslant\:\mathrm{2}^{\mathrm{n}} \:;\:\mathrm{n}\:\geqslant\:\mathrm{4} \\ $$ $$\left(\mathrm{2}\right)\:\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:<\:\mathrm{2n}^{\mathrm{2}} \:;\:\mathrm{n}\:\geqslant\:\mathrm{3} \\ $$ $$\left(\mathrm{3}\right)\:\mathrm{2}^{\mathrm{n}} −\mathrm{3}\:\geqslant\:\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \:;\:\mathrm{n}\:\geqslant\:\mathrm{5} \\ $$ $$\:\:\:\:\:\:@\mathrm{bemath}@ \\ $$

Commented bybobhans last updated on 07/Aug/20

(2)n^2 +2n+1< 2n^2 ; 2n+1 < n^2 ; n≥3 P_1 (n=3)⇒2.3+1<3^2 [ true ] let :P_k (n=k,k≥3)⇒2k+1 < k^2 [true] P_(k+1) (n=k+1)⇒LHS : 2(k+1)+1 = 2k+3 = (2k+1)+2 < k^2 +2 =k^2 −2k+1+(1+2k) =(k+1)^2 +2k+1 =

$$\left(\mathrm{2}\right)\mathrm{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2n}+\mathrm{1}<\:\mathrm{2n}^{\mathrm{2}} \:;\:\mathrm{2n}+\mathrm{1}\:<\:\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \:;\:\mathrm{n}\geqslant\mathrm{3} \\ $$ $$\mathrm{P}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{n}=\mathrm{3}\right)\Rightarrow\mathrm{2}.\mathrm{3}+\mathrm{1}<\mathrm{3}^{\mathrm{2}} \:\:\left[\:\mathrm{true}\:\right] \\ $$ $$\mathrm{let}\::\mathrm{P}_{\mathrm{k}} \left(\mathrm{n}=\mathrm{k},\mathrm{k}\geqslant\mathrm{3}\right)\Rightarrow\mathrm{2k}+\mathrm{1}\:<\:\mathrm{k}^{\mathrm{2}} \:\:\:\left[\mathrm{true}\right] \\ $$ $$\mathrm{P}_{\mathrm{k}+\mathrm{1}} \left(\mathrm{n}=\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)\Rightarrow\mathrm{LHS}\::\:\mathrm{2}\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}\:=\:\mathrm{2k}+\mathrm{3} \\ $$ $$=\:\left(\mathrm{2k}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{2}\:<\:\mathrm{k}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\:=\mathrm{k}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2k}+\mathrm{1}+\left(\mathrm{1}+\mathrm{2k}\right) \\ $$ $$=\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{2k}+\mathrm{1}\:=\: \\ $$ $$ \\ $$ $$ \\ $$

Answered by bobhans last updated on 07/Aug/20

(3) 2^n −3≥(2^n /4) ⇒ 4.2^n −12≥2^n 3.2^n ≥ 12 ⇒2^n ≥ 4 ⇒n ≥ 2 . wrong to condition n ≥ 5.

$$\left(\mathrm{3}\right)\:\mathrm{2}^{\mathrm{n}} −\mathrm{3}\geqslant\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{4}}\:\Rightarrow\:\mathrm{4}.\mathrm{2}^{\mathrm{n}} −\mathrm{12}\geqslant\mathrm{2}^{\mathrm{n}} \\ $$ $$\mathrm{3}.\mathrm{2}^{\mathrm{n}} \:\geqslant\:\mathrm{12}\:\Rightarrow\mathrm{2}^{\mathrm{n}} \:\geqslant\:\mathrm{4}\:\Rightarrow\mathrm{n}\:\geqslant\:\mathrm{2}\:. \\ $$ $$\mathrm{wrong}\:\mathrm{to}\:\mathrm{condition}\:\mathrm{n}\:\geqslant\:\mathrm{5}. \\ $$

Answered by Rio Michael last updated on 07/Aug/20

(1) claim: n^2 ≤ 2^n ; if n ≥ 4 prove for n = 4 ⇒ 4^2 = 2^4 = 16 prove for n = 6 ⇒ 6^2 ≤ 2^6 Assume that n = k satisfies the claim. ∴ k^2 ≤ 2^k : if k ≥ 4 proving for n = k+1 ⇒ (k+1)^2 ≤ 2^(k+1) ⇒ k^2 + 2k + 1 ≤ 2(2^k ) but k^2 ≤ 2^k ⇒ k^2 ≤ 2(2^k ) also k^2 ≥ 2k ∀ k ∈ Z thus k^2 + 2k + 1 ≤ 2(2^k ) if k ≥ 3

$$\:\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{claim}:\:\:{n}^{\mathrm{2}} \:\leqslant\:\mathrm{2}^{{n}} \:;\:\mathrm{if}\:{n}\:\geqslant\:\mathrm{4} \\ $$ $$\mathrm{prove}\:\mathrm{for}\:{n}\:=\:\mathrm{4}\:\Rightarrow\:\:\mathrm{4}^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{2}^{\mathrm{4}} \:=\:\mathrm{16} \\ $$ $$\mathrm{prove}\:\mathrm{for}\:{n}\:=\:\mathrm{6}\:\Rightarrow\:\mathrm{6}^{\mathrm{2}} \leqslant\:\mathrm{2}^{\mathrm{6}} \: \\ $$ $$\mathrm{Assume}\:\mathrm{that}\:\:{n}\:=\:{k}\:\mathrm{satisfies}\:\mathrm{the}\:\mathrm{claim}. \\ $$ $$\therefore\:{k}^{\mathrm{2}} \:\leqslant\:\mathrm{2}^{{k}} \::\:\mathrm{if}\:{k}\:\geqslant\:\mathrm{4} \\ $$ $$\mathrm{proving}\:\mathrm{for}\:{n}\:=\:{k}+\mathrm{1} \\ $$ $$\Rightarrow\:\:\left({k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:\leqslant\:\mathrm{2}^{{k}+\mathrm{1}} \\ $$ $$\Rightarrow\:\:{k}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{2}{k}\:+\:\mathrm{1}\:\leqslant\:\mathrm{2}\left(\mathrm{2}^{{k}} \right) \\ $$ $$\mathrm{but}\:{k}^{\mathrm{2}} \:\leqslant\:\mathrm{2}^{{k}} \:\Rightarrow\:{k}^{\mathrm{2}} \:\leqslant\:\mathrm{2}\left(\mathrm{2}^{{k}} \right) \\ $$ $$\mathrm{also}\:\:{k}^{\mathrm{2}} \:\geqslant\:\mathrm{2}{k}\:\forall\:{k}\:\in\:\mathbb{Z}\:\:\: \\ $$ $$\mathrm{thus}\:{k}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{2}{k}\:+\:\mathrm{1}\:\leqslant\:\mathrm{2}\left(\mathrm{2}^{{k}} \right)\:\mathrm{if}\:\:{k}\:\geqslant\:\mathrm{3} \\ $$

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