Question Number 107184 by bemath last updated on 09/Aug/20
$$\:\:\:\:\:\:\:@{bemath}@ \\ $$$$\underset{\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{2}} {\int}}\:{x}\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{8}−{x}^{\mathrm{3}} }\:{dx}\:=?\: \\ $$
Answered by john santu last updated on 09/Aug/20
Commented by john santu last updated on 09/Aug/20
$$\mathrm{typo}\:\mathrm{8v}\:=\:\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \: \\ $$
Commented by bobhans last updated on 09/Aug/20
$$\mathrm{typo}\:\mathrm{the}\:\mathrm{last}\:\mathrm{line}\::\:\frac{\mathrm{16}\pi}{\mathrm{9}\sqrt{\mathrm{3}}}\: \\ $$
Commented by john santu last updated on 09/Aug/20
$$\mathrm{haha}...\mathrm{thanks} \\ $$
Answered by 1549442205PVT last updated on 12/Aug/20
![Set (8/x^3 )−1=t^3 ⇒3t^2 dt=−((24)/x^4 )dx ⇒^3 (√(8−x^3 )) =xt,dx=−((x^4 t^2 dt)/8) ⇒F=∫((x^2 t.x^4 t^2 )/(−8))dt=−(1/8)∫ t^3 x^6 dt =((−1)/8)∫t^3 .((8/(1+t^3 )))^2 dt=−8∫(t^3 /((1+t^3 )^2 ))dt =−8∫((t^3 +1−1)/((1+t^3 )^2 ))dt=−8∫(dt/(1+t^3 ))−8∫(dt/((1+t^3 )^2 )) (1/(1+t^3 ))=(a/(1+t))+((bt+c)/(t^2 −t+1))⇔(((a+b)t^2 +(b+c−a)t+a+c)/((1+t)(t^2 −t+1)))=(1/(t^3 +1)) ⇔ { ((a+b=0)),((b+c−a=0)),((a+c=1)) :} ⇔ { ((a=1/3)),((b=−1/3)),((c=2/3)) :} A=∫(dt/(1+t^3 ))=∫(dt/(3(1+t)))−∫(((t−2)dt)/(3(t^2 −t+1))) =(1/3)lnt−(1/6)∫((2t−1−3)/((t^2 −t+1)))dt=(1/3)lnt −(1/6)∫((d(t^2 −t+1))/(t^2 −t+1))+(1/2)∫(dt/((t−(1/2))^2 +(((√3)/2))^2 )) =(1/3)lnt−(1/6)ln(t^2 −t+1)+(1/2)×(2/( (√3)))tan^(−1) (((2x−1)/( (√3)))) B=(1/((1+t^3 )^2 ))=[(1/3)((1/(t+1))−((t−2)/(t^2 −t+1)))]^2 9B=(1/((1+t)^2 ))−((t^2 −4t+4)/((t^2 −t+1)^2 ))−((2(t−2))/((t+1)(t^2 −t+1))) =(1/((1+t)^2 ))−((t^2 −t+1−3t+3)/((t^2 −t+1)^2 ))−(2/(t^2 −t+1))+2((1/(t+1))−((t−2)/(t^2 −t+1))) =(1/((1+t)^2 ))−(1/(t^2 −t+1))+((3(t−1))/((t^2 −t+1)^2 ))−(2/(t^2 −t+1))+(2/(t+1))−((2(t−2))/(t^2 −t+1)) =(1/((t+1)^2 ))+(2/(t+1))+((3(t−1))/((t^2 −t+1)^2 ))−((2t−1)/(t^2 −t+1)) ∫(dt/((1+t^3 )^2 ))=∫((1/((t+1)^2 ))+(2/(t+1))+((3(t−1))/((t^2 −t+1)^2 ))−((2t−1)/(t^2 −t+1)))dt =∫((d(t+1))/((t+1)^2 ))+2∫((d(t+1))/(t+1))+(3/2)∫((2t−1)/((t^2 −t+1)^2 ))dt−(3/2)∫(dt/((t^2 −t+1)^2 ))−∫ ((d(t^2 −t+1))/(t^2 −t+1)) =−(1/(t+1))+2ln(t+1)−(3/(2(t^2 −t+1)))−ln(t^2 −t+1)−(3/(2(t^2 −t+1)^2 )) I_2 =∫(dt/((t^2 −t+1)^2 ))=∫((d(t−(1/2)))/([(t−(1/2))^2 +(((√3)/2))^2 ]^2 )).Set u=t−(1/2),a=((√3)/2) I_2 =∫(du/((u^2 +a)^2 ))=(1/(2a^2 (2−1))).(u/((u^2 +a^2 )^(2−1) ))+(1/a^2 ).((2.2−3)/(2.2−2)).I_1 =(2/3).(u/((u^2 +a^2 )))+(4/3).(1/2)∫(du/(u^2 +a^2 )) =(2/3).((t−(1/2))/((t^2 −t+1)))+(2/3).(2/( (√3)))tan^(−1) (((2t−1)/( (√3)))) =((2t−1)/(3(t^2 −t+1)))+(4/(3(√3)))tan^(−1) (((2t−1)/( (√3)))) Hence, 9B=((−1)/(t+1))+2ln(t+1)−(3/(2(t^2 −t+1)))−ln(t^2 −t+1)−(3/(2(t^2 −t+1)^2 )) =((−1)/(t+1))−(3/(2(t^2 −t+1)))+2ln((t+1)/(t^2 −t+1))−3I_2 =((−1)/(t+1))−(3/(2(t^2 −t+1)))+2ln((t+1)/(t^2 −t+1))−((2t−1)/(t^2 −t+1))−(4/( (√3)))tan^(−1) (((2t−1)/( (√3)))) F=−8A−8B=−8[(1/3)lnt−(1/6)ln(t^2 −t+1)+(1/2)×(2/( (√3)))tan^(−1) (((2x−1)/( (√3))))] −(8/9)[=((−1)/(t+1))−(3/(2(t^2 −t+1)))+2ln((t+1)/(t^2 −t+1))−((2t−1)/(t^2 −t+1))−(4/( (√3)))tan^(−1) (((2t−1)/( (√3))))]](Q107251.png)
$$ \\ $$$$\mathrm{Set}\:\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }−\mathrm{1}=\mathrm{t}^{\mathrm{3}} \Rightarrow\mathrm{3t}^{\mathrm{2}} \mathrm{dt}=−\frac{\mathrm{24}}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} }\mathrm{dx} \\ $$$$\Rightarrow\:^{\mathrm{3}} \sqrt{\mathrm{8}−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }\:=\mathrm{xt},\mathrm{dx}=−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} \mathrm{t}^{\mathrm{2}} \mathrm{dt}}{\mathrm{8}} \\ $$$$\:\Rightarrow\mathrm{F}=\int\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{t}.\mathrm{x}^{\mathrm{4}} \mathrm{t}^{\mathrm{2}} }{−\mathrm{8}}\mathrm{dt}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\int\:\mathrm{t}^{\mathrm{3}} \mathrm{x}^{\mathrm{6}} \mathrm{dt} \\ $$$$=\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\int\mathrm{t}^{\mathrm{3}} .\left(\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{3}} }\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{dt}=−\mathrm{8}\int\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{3}} }{\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{3}} \right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dt} \\ $$$$=−\mathrm{8}\int\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}−\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{3}} \right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dt}=−\mathrm{8}\int\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{3}} }−\mathrm{8}\int\frac{\mathrm{dt}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{3}} \right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{3}} }=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}}+\frac{\mathrm{bt}+\mathrm{c}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}+\mathrm{1}}\Leftrightarrow\frac{\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{b}+\mathrm{c}−\mathrm{a}\right)\mathrm{t}+\mathrm{a}+\mathrm{c}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}\right)\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}} \\ $$$$\Leftrightarrow\begin{cases}{\mathrm{a}+\mathrm{b}=\mathrm{0}}\\{\mathrm{b}+\mathrm{c}−\mathrm{a}=\mathrm{0}}\\{\mathrm{a}+\mathrm{c}=\mathrm{1}}\end{cases}\:\Leftrightarrow\begin{cases}{\mathrm{a}=\mathrm{1}/\mathrm{3}}\\{\mathrm{b}=−\mathrm{1}/\mathrm{3}}\\{\mathrm{c}=\mathrm{2}/\mathrm{3}}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{A}=\int\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{3}} }=\int\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{3}\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}\right)}−\int\frac{\left(\mathrm{t}−\mathrm{2}\right)\mathrm{dt}}{\mathrm{3}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{lnt}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\int\frac{\mathrm{2t}−\mathrm{1}−\mathrm{3}}{\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)}\mathrm{dt}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{lnt} \\ $$$$−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\int\frac{\mathrm{d}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{\mathrm{dt}}{\left(\mathrm{t}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{lnt}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}×\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{2x}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right) \\ $$$$\mathrm{B}=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{3}} \right)^{\mathrm{2}} }=\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{t}−\mathrm{2}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}+\mathrm{1}}\right)\right]^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{9B}=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}\right)^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4t}+\mathrm{4}}{\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{2}\left(\mathrm{t}−\mathrm{2}\right)}{\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}\right)^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}+\mathrm{1}−\mathrm{3t}+\mathrm{3}}{\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}+\mathrm{1}}+\mathrm{2}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{t}−\mathrm{2}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}+\mathrm{1}}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}\right)^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{3}\left(\mathrm{t}−\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{2}\left(\mathrm{t}−\mathrm{2}\right)}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}+\mathrm{1}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{3}\left(\mathrm{t}−\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{2t}−\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}+\mathrm{1}} \\ $$$$\int\frac{\mathrm{dt}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{3}} \right)^{\mathrm{2}} }=\int\left(\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{3}\left(\mathrm{t}−\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{2t}−\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}+\mathrm{1}}\right)\mathrm{dt} \\ $$$$=\int\frac{\mathrm{d}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }+\mathrm{2}\int\frac{\mathrm{d}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\int\frac{\mathrm{2t}−\mathrm{1}}{\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dt}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\int\frac{\mathrm{dt}}{\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }−\int\:\frac{\mathrm{d}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}+\mathrm{1}} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}+\mathrm{2ln}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)}−\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{I}_{\mathrm{2}} =\int\frac{\mathrm{dt}}{\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }=\int\frac{\mathrm{d}\left(\mathrm{t}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)}{\left[\left(\mathrm{t}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} \right]^{\mathrm{2}} }.\mathrm{Set}\:\mathrm{u}=\mathrm{t}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}},\mathrm{a}=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{I}_{\mathrm{2}} =\int\frac{\mathrm{du}}{\left(\mathrm{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{a}\right)^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}−\mathrm{1}\right)}.\frac{\mathrm{u}}{\left(\mathrm{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}−\mathrm{1}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }.\frac{\mathrm{2}.\mathrm{2}−\mathrm{3}}{\mathrm{2}.\mathrm{2}−\mathrm{2}}.\mathrm{I}_{\mathrm{1}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}.\frac{\mathrm{u}}{\left(\mathrm{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)}+\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}.\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{a}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}.\frac{\mathrm{t}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}{\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}.\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{2t}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{2t}−\mathrm{1}}{\mathrm{3}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)}+\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{2t}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right) \\ $$$$\mathrm{Hence}, \\ $$$$\mathrm{9B}=\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}+\mathrm{2ln}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)}−\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)}+\mathrm{2ln}\frac{\mathrm{t}+\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}+\mathrm{1}}−\mathrm{3I}_{\mathrm{2}} \\ $$$$=\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)}+\mathrm{2ln}\frac{\mathrm{t}+\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{2t}−\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{4}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{2t}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right) \\ $$$$\mathrm{F}=−\mathrm{8A}−\mathrm{8B}=−\mathrm{8}\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{lnt}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}×\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{2x}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)\right] \\ $$$$−\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{9}}\left[=\frac{−\mathrm{1}}{\boldsymbol{\mathrm{t}}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}\left(\boldsymbol{\mathrm{t}}^{\mathrm{2}} −\boldsymbol{\mathrm{t}}+\mathrm{1}\right)}+\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{ln}}\frac{\boldsymbol{\mathrm{t}}+\mathrm{1}}{\boldsymbol{\mathrm{t}}^{\mathrm{2}} −\boldsymbol{\mathrm{t}}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{t}}−\mathrm{1}}{\boldsymbol{\mathrm{t}}^{\mathrm{2}} −\boldsymbol{\mathrm{t}}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{4}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\boldsymbol{\mathrm{tan}}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{t}}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)\right] \\ $$