Question Number 107247 by ZiYangLee last updated on 09/Aug/20
Answered by abdomathmax last updated on 09/Aug/20
![let f(t) =∫_0 ^∞ ((e^(−x) −e^(−2x) )/x) e^(−tx) dx with t≥0 we hsve f^′ (t) =−∫_0 ^∞ (e^(−x) −e^(−2x) )e^(−tx) dx =∫_0 ^∞ ( e^(−(t+2)x) −e^(−(t+1)x) )dx =[−(1/(t+2))e^(−(t+2)x) +(1/(t+1))e^((t+1)x) ]_0 ^∞ =(1/(t+2))−(1/(t+1)) ⇒f(t) =ln(((t+2)/(t+1))) +C ∃m>0 / ∣f(t)∣≤(m/t) →0 (t→+∞) ⇒C =0 ⇒ f(t) =ln(((t+2)/(t+1))) t=0 weget ∫_0 ^∞ ((e^(−x) −e^(−2x) )/x)dx =ln(2)](Q107248.png)
$$\mathrm{let}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} −\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} }{\mathrm{x}}\:\mathrm{e}^{−\mathrm{tx}} \:\mathrm{dx}\:\mathrm{with}\:\mathrm{t}\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{hsve}\:\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{t}\right)\:=−\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} −\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \right)\mathrm{e}^{−\mathrm{tx}} \mathrm{dx} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \left(\:\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{t}+\mathrm{2}\right)\mathrm{x}} −\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}} \right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\left[−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}+\mathrm{2}}\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{t}+\mathrm{2}\right)\mathrm{x}} \:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}\mathrm{e}^{\left(\boldsymbol{\mathrm{t}}+\mathrm{1}\right)\boldsymbol{\mathrm{x}}} \right]_{\mathrm{0}} ^{\infty} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}+\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}\:\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)\:=\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{t}+\mathrm{2}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}\right)\:+\mathrm{C} \\ $$$$\exists\mathrm{m}>\mathrm{0}\:/\:\mid\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)\mid\leqslant\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{t}}\:\rightarrow\mathrm{0}\:\left(\mathrm{t}\rightarrow+\infty\right)\:\Rightarrow\mathrm{C}\:=\mathrm{0}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)\:=\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{t}+\mathrm{2}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}\right) \\ $$$$\mathrm{t}=\mathrm{0}\:\mathrm{weget}\:\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{e}^{−\boldsymbol{\mathrm{x}}} −\boldsymbol{\mathrm{e}}^{−\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{x}}} }{\boldsymbol{\mathrm{x}}}\boldsymbol{\mathrm{dx}}\:=\boldsymbol{\mathrm{ln}}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$
Commented by ZiYangLee last updated on 09/Aug/20
$$\mathrm{Nice}\: \\ $$