Question Number 107330 by saorey0202 last updated on 10/Aug/20
$$\mathrm{If}\:\:\:{a}+{b}+{c}=\mathrm{0}\:\mathrm{one}\:\mathrm{root}\:\mathrm{of} \\ $$$$\begin{vmatrix}{{a}−{x}}&{\:\:\:\:{c}}&{\:\:\:{b}}\\{\:\:\:\:{c}}&{{b}−{x}}&{\:\:\:{a}}\\{\:\:\:\:{b}}&{\:\:\:{a}}&{{c}−{x}}\end{vmatrix}=\mathrm{0}\:\mathrm{is} \\ $$
Answered by som(math1967) last updated on 10/Aug/20
![determinant (((a+b+c−x),(a+b+c−x),(a+b+c−x)),(c,(b−x),a),(b,a,(c−x)))=0 [R_1 ^′ →R_1 +R_2 +R_3 ] (a+b+c−x) determinant ((1,1,1),(c,(b−x),a),(b,(a ),(c−x)))=0 (a+b+c−x) determinant ((0,0,1),((c−b+x),(b−x−a),a),((b−a),(a−c+x),(c−x)))=0★ (a+b+c−x) determinant (((c−b+x),(b−x−a)),((b−a),(a−c+x)))=0 (a+b+c−x)(x^2 −a^2 −b^2 −c^2 +ab+bc+ca)=0 ⇒x=(a+b+c)=0 x=±(√(a^2 +b^2 +c^2 −ab−bc−ca)) ★C_1 ^′ →C_1 −C_2 C_2 ^′ →C_2 −C_3](Q107361.png)
$$\begin{vmatrix}{\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}−\mathrm{x}}&{\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}−\mathrm{x}}&{\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}−\mathrm{x}}\\{\mathrm{c}}&{\mathrm{b}−\mathrm{x}}&{\mathrm{a}}\\{\mathrm{b}}&{\mathrm{a}}&{\mathrm{c}−\mathrm{x}}\end{vmatrix}=\mathrm{0} \\ $$$$\left[\mathrm{R}_{\mathrm{1}} ^{'} \rightarrow\mathrm{R}_{\mathrm{1}} +\mathrm{R}_{\mathrm{2}} +\mathrm{R}_{\mathrm{3}} \right] \\ $$$$\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}−\mathrm{x}\right)\begin{vmatrix}{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{c}}&{\mathrm{b}−\mathrm{x}}&{\mathrm{a}}\\{\mathrm{b}}&{\mathrm{a}\:}&{\mathrm{c}−\mathrm{x}}\end{vmatrix}=\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}−\mathrm{x}\right)\begin{vmatrix}{\mathrm{0}}&{\mathrm{0}}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{c}−\mathrm{b}+\mathrm{x}}&{\mathrm{b}−\mathrm{x}−\mathrm{a}}&{\mathrm{a}}\\{\mathrm{b}−\mathrm{a}}&{\mathrm{a}−\mathrm{c}+\mathrm{x}}&{\mathrm{c}−\mathrm{x}}\end{vmatrix}=\mathrm{0}\bigstar \\ $$$$\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}−\mathrm{x}\right)\begin{vmatrix}{\mathrm{c}−\mathrm{b}+\mathrm{x}}&{\mathrm{b}−\mathrm{x}−\mathrm{a}}\\{\mathrm{b}−\mathrm{a}}&{\mathrm{a}−\mathrm{c}+\mathrm{x}}\end{vmatrix}=\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}−\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{c}^{\mathrm{2}} +\mathrm{ab}+\mathrm{bc}+\mathrm{ca}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}=\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{x}=\pm\sqrt{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{ab}−\mathrm{bc}−\mathrm{ca}} \\ $$$$\bigstar\mathrm{C}_{\mathrm{1}} ^{'} \rightarrow\mathrm{C}_{\mathrm{1}} −\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{C}_{\mathrm{2}} ^{'} \rightarrow\mathrm{C}_{\mathrm{2}} −\mathrm{C}_{\mathrm{3}} \\ $$
Answered by 1549442205PVT last updated on 10/Aug/20
![We have determinant (((a−x),( c),( b)),(( c),(b−x),( a)),(( b),( a),(c−x)))=0 ⇔(a−x)(b−x)(c−x)+2abc−b^2 (b−x)−c^2 (c−x)−a^2 (a−x)=0 ⇔−x^3 +(a+b+c)x^2 +(a^2 +b^2 +c^2 −ab−bc−ca)x −(a^3 +b^3 +c^3 −2abc)+abc=0 ⇔x^3 −(a+b+c)x^2 −(a^2 +b^2 +c^2 −ab−bc−ca)x +(a^3 +b^3 +c^3 −3abc)=0(∗) Apply the identity a^3 +b^3 +c^3 −3abc=(a+b+c)(a^2 +b^2 +c^2 −ab−bc−ca)(1)we have (∗)⇔x^2 [x−(a+b+c)]−(a^2 +b^2 +c^2 −ab−bc−ca)x +(a+b+c)(a^2 +b^2 +c^2 −ab−bc−ca)=0 ⇔(∗)⇔x^2 [x−(a+b+c)]−[x−(a+b+c)](a^2 +b^2 +c^2 −ab−bc−ca)=0 ⇔[x−(a+b+c)].[x^2 −(a^2 +b^2 +c^2 −ab−bc−ca)]=0 This show that x=a+b+c is a root of the equation (∗)(q.e.d) In adition,we see that the given has two another real roots that are x=±(√(a^2 +b^2 +c^2 −ab−bc−ca)) .The under root expression is non−negative number since we have always a^2 +b^2 +c^2 −ab−bc−ca= (1/2)[(a−b)^2 +(b−c)^2 +(c−a)^2 ]≥0∀a,b,c∈R](Q107391.png)
$$\mathrm{We}\:\mathrm{have}\:\begin{vmatrix}{{a}−{x}}&{\:\:\:\:{c}}&{\:\:\:{b}}\\{\:\:\:\:{c}}&{{b}−{x}}&{\:\:\:{a}}\\{\:\:\:\:{b}}&{\:\:\:{a}}&{{c}−{x}}\end{vmatrix}=\mathrm{0}\: \\ $$$$\Leftrightarrow\left(\mathrm{a}−\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{b}−\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{c}−\mathrm{x}\right)+\mathrm{2abc}−\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{b}−\mathrm{x}\right)−\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{c}−\mathrm{x}\right)−\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{a}−\mathrm{x}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{ab}−\mathrm{bc}−\mathrm{ca}\right)\mathrm{x} \\ $$$$−\left(\mathrm{a}^{\mathrm{3}} +\mathrm{b}^{\mathrm{3}} +\mathrm{c}^{\mathrm{3}} −\mathrm{2abc}\right)+\mathrm{abc}=\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{ab}−\mathrm{bc}−\mathrm{ca}\right)\mathrm{x} \\ $$$$+\left(\mathrm{a}^{\mathrm{3}} +\mathrm{b}^{\mathrm{3}} +\mathrm{c}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3abc}\right)=\mathrm{0}\left(\ast\right) \\ $$$$\mathrm{Apply}\:\mathrm{the}\:\mathrm{identity}\: \\ $$$$\mathrm{a}^{\mathrm{3}} +\mathrm{b}^{\mathrm{3}} +\mathrm{c}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3abc}=\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{ab}−\mathrm{bc}−\mathrm{ca}\right)\left(\mathrm{1}\right)\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$$$\left(\ast\right)\Leftrightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left[\mathrm{x}−\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)\right]−\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{ab}−\mathrm{bc}−\mathrm{ca}\right)\mathrm{x} \\ $$$$+\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{ab}−\mathrm{bc}−\mathrm{ca}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\left(\ast\right)\Leftrightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left[\mathrm{x}−\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)\right]−\left[\mathrm{x}−\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)\right]\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{ab}−\mathrm{bc}−\mathrm{ca}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\left[\mathrm{x}−\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)\right].\left[\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{ab}−\mathrm{bc}−\mathrm{ca}\right)\right]=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{This}\:\mathrm{show}\:\mathrm{that}\:\mathrm{x}=\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{root}\:\mathrm{of} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{equation}\:\left(\ast\right)\left(\boldsymbol{\mathrm{q}}.\boldsymbol{\mathrm{e}}.\boldsymbol{\mathrm{d}}\right)\: \\ $$$$\mathrm{In}\:\mathrm{adition},\mathrm{we}\:\mathrm{see}\:\mathrm{that}\:\mathrm{the}\:\mathrm{given}\:\mathrm{has}\: \\ $$$$\mathrm{two}\:\mathrm{another}\:\mathrm{real}\:\mathrm{roots}\:\mathrm{that}\:\mathrm{are} \\ $$$$\mathrm{x}=\pm\sqrt{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{ab}−\mathrm{bc}−\mathrm{ca}}\: \\ $$$$.\mathrm{The}\:\mathrm{under}\:\mathrm{root}\:\mathrm{expression}\:\mathrm{is}\:\mathrm{non}−\mathrm{negative} \\ $$$$\mathrm{number}\:\mathrm{since}\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{always} \\ $$$$\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{ab}−\mathrm{bc}−\mathrm{ca}= \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left[\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{b}−\mathrm{c}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{c}−\mathrm{a}\right)^{\mathrm{2}} \right]\geqslant\mathrm{0}\forall\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c}\in\mathbb{R} \\ $$