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Question Number 10750 by Joel576 last updated on 24/Feb/17

Exact value of sin 9° = ...

$$\mathrm{Exact}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of} \\ $$$$\mathrm{sin}\:\mathrm{9}°\:=\:... \\ $$

Answered by ridwan balatif last updated on 24/Feb/17

first we must know the value of sin 18^o let x=18^o 5x=90^o 3x=90−2x cos(3x)=cos(90−2x) cos(3x)=sin(2x) cos(2x+x)=sin(2x) cos2x×cosx−sinx×sin2x=2sinxcosx (cos^2 x−sin^2 x)×cosx−sinx×(2sinxcosx)=2sinxcosx (cos^2 x−sin^2 x)−2sin^2 x=2sinx (1−2sin^2 x)−2sin^2 x=2sinx 4sin^2 x+2sinx−1=0 D=b^2 −4ac=20 sinx_(1,2) =((−2±(√(20)))/(2.4))=((−1±(√5))/4) sin 18^o must be positive sin18^o =(((√5)−1)/4) cos18^o =((√(10+2(√5)))/4) sin9^o =(√((1−cos18^o )/2)) =(√((1−(((√(10+2(√5)))/4)))/2)) =(√(((4−((√(10+2(√5)))))/4)/2)) =(√((4−(√(10+2(√5))))/8)) =(1/2)(√(2−(1/2)(√(10+2(√5)))))

$$\mathrm{first}\:\mathrm{we}\:\mathrm{must}\:\mathrm{know}\:\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{18}^{\mathrm{o}} \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{x}=\mathrm{18}^{\mathrm{o}} \\ $$$$\mathrm{5x}=\mathrm{90}^{\mathrm{o}} \\ $$$$\mathrm{3x}=\mathrm{90}−\mathrm{2x} \\ $$$$\mathrm{cos}\left(\mathrm{3x}\right)=\mathrm{cos}\left(\mathrm{90}−\mathrm{2x}\right) \\ $$$$\mathrm{cos}\left(\mathrm{3x}\right)=\mathrm{sin}\left(\mathrm{2x}\right) \\ $$$$\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}+\mathrm{x}\right)=\mathrm{sin}\left(\mathrm{2x}\right) \\ $$$$\mathrm{cos2x}×\mathrm{cosx}−\mathrm{sinx}×\mathrm{sin2x}=\mathrm{2sinxcosx} \\ $$$$\left(\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\right)×\mathrm{cosx}−\mathrm{sinx}×\left(\mathrm{2sinxcosx}\right)=\mathrm{2sinxcosx} \\ $$$$\left(\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\right)−\mathrm{2sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}=\mathrm{2sinx} \\ $$$$\left(\mathrm{1}−\mathrm{2sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\right)−\mathrm{2sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}=\mathrm{2sinx} \\ $$$$\mathrm{4sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}+\mathrm{2sinx}−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{D}=\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4ac}=\mathrm{20} \\ $$$$\mathrm{sinx}_{\mathrm{1},\mathrm{2}} =\frac{−\mathrm{2}\pm\sqrt{\mathrm{20}}}{\mathrm{2}.\mathrm{4}}=\frac{−\mathrm{1}\pm\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{sin}\:\mathrm{18}^{\mathrm{o}} \:\mathrm{must}\:\mathrm{be}\:\mathrm{positive} \\ $$$$\mathrm{sin18}^{\mathrm{o}} =\frac{\sqrt{\mathrm{5}}−\mathrm{1}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{cos18}^{\mathrm{o}} =\frac{\sqrt{\mathrm{10}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{sin9}^{\mathrm{o}} =\sqrt{\frac{\mathrm{1}−\mathrm{cos18}^{\mathrm{o}} }{\mathrm{2}}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\sqrt{\frac{\mathrm{1}−\left(\frac{\sqrt{\mathrm{10}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}}}{\mathrm{4}}\right)}{\mathrm{2}}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\sqrt{\frac{\frac{\mathrm{4}−\left(\sqrt{\mathrm{10}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}}\right)}{\mathrm{4}}}{\mathrm{2}}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\sqrt{\frac{\mathrm{4}−\sqrt{\mathrm{10}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}}}{\mathrm{8}}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sqrt{\mathrm{2}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sqrt{\mathrm{10}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}}} \\ $$$$ \\ $$

Commented by Joel576 last updated on 24/Feb/17

thank you very much

$${thank}\:{you}\:{very}\:{much} \\ $$

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