Question Number 107831 by mathdave last updated on 12/Aug/20
Answered by hgrocks last updated on 12/Aug/20
Commented by mathdave last updated on 12/Aug/20
$${correct}\:{man}\:{thanks} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 12/Aug/20
![I =∫_0 ^1 ((ln^2 (1−x^2 ))/x)dx we do the changement x^2 =t ⇒ I =∫_0 ^1 ((ln^2 (1−t))/(√t))×(dt/(2(√t))) =(1/2)∫_0 ^1 ((ln^2 (1−t))/t) dt =_(by parts) (1/2){ [ lnt ln^2 (1−t)]_0 ^1 −∫_0 ^1 ln(t).((2ln(1−t)(−1))/(1−t)) dt =∫_0 ^1 ((ln(t)ln(1−t))/(1−t)) dt =_(1−t =u) ∫_0 ^1 ((ln(1−u)lnu)/u) du we have ln^′ (1−u) =−(1/(1−u)) =−Σ_(n=0) ^∞ u^n ⇒ln(1−u) =−Σ_(n=0) ^∞ (u^(n+1) /(n+1)) =−Σ_(n=1) ^∞ (u^n /n) ⇒((ln(1−u))/u) =−Σ_(n=1) ^∞ (u^(n−1) /n) ⇒ I =−∫_0 ^1 lnu(Σ_(n=1) ^∞ (u^(n−1) /n))du =−Σ_(n=1) ^∞ (1/n) ∫_0 ^1 u^(n−1) lnu du but ∫_0 ^1 u^(n−1) ln(u)du =[(u^n /n)lnu]_0 ^1 −∫_0 ^1 (u^n /n)(du/u) =−(1/n)∫_0 ^1 u^(n−1) dy =−(1/n^2 ) ⇒ ★I =Σ_(n=1) ^∞ (1/n^3 ) =ξ(3)★](Q107853.png)
$$\mathrm{I}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)}{\mathrm{x}}\mathrm{dx}\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{do}\:\mathrm{the}\:\mathrm{changement}\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:=\mathrm{t}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{I}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)}{\sqrt{\mathrm{t}}}×\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{t}}}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)}{\mathrm{t}}\:\mathrm{dt} \\ $$$$=_{\mathrm{by}\:\mathrm{parts}} \:\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left\{\:\left[\:\mathrm{lnt}\:\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} −\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right).\frac{\mathrm{2ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)\left(−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{1}−\mathrm{t}}\:\mathrm{dt}\right. \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)}{\mathrm{1}−\mathrm{t}}\:\mathrm{dt}\:=_{\mathrm{1}−\mathrm{t}\:=\mathrm{u}} \:\:\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{u}\right)\mathrm{lnu}}{\mathrm{u}}\:\mathrm{du} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{ln}^{'} \left(\mathrm{1}−\mathrm{u}\right)\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{u}}\:=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{u}^{\mathrm{n}} \:\Rightarrow\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{u}\right)\:=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{u}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \\ $$$$=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{u}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}}\:\Rightarrow\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{u}\right)}{\mathrm{u}}\:=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{u}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{n}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{I}\:=−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{lnu}\left(\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{u}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{n}}\right)\mathrm{du}\:=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{u}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \mathrm{lnu}\:\mathrm{du}\:\mathrm{but} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{u}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{u}\right)\mathrm{du}\:=\left[\frac{\mathrm{u}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}}\mathrm{lnu}\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} −\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{u}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}}\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{u}}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{u}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\mathrm{dy}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\bigstar\mathrm{I}\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{3}} }\:=\xi\left(\mathrm{3}\right)\bigstar \\ $$