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Question Number 107965 by bemath last updated on 13/Aug/20

((⊚BeMath⊚)/) ∫ x (√(x/(2a−x))) dx ?

$$\:\:\:\:\frac{\circledcirc\mathcal{B}{e}\mathcal{M}{ath}\circledcirc}{} \\ $$$$\int\:{x}\:\sqrt{\frac{{x}}{\mathrm{2}{a}−{x}}}\:{dx}\:?\: \\ $$

Answered by bobhans last updated on 13/Aug/20

((⋱BOBHANS⋰)/Π) I= ∫ x (√(x/(2a−x))) dx [ set x = a−acos 2t ] I= ∫ a(1−cos 2t) (√((a(1−cos 2t))/(a(1+cos 2t)))) (2asin 2t)dt I= 2a^2 ∫ (1−cos 2t)sin 2t (√((2sin^2 t)/(2cos^2 t))) dt I=2a^2 ∫(1−cos 2t).2sin t cos t .((sin t)/(cos t)) dt I= 4a^2 ∫(1−cos 2t).sin^2 t dt I= 4a^2 ∫ (1−cos 2t)(((1−cos 2t)/2))dt I=2a^2 ∫(1−2cos 2t+cos^2 2t)dt I= 2a^2 [t−sin 2t+∫ (((1+cos 4t)/2))dt ] I=2a^2 t −2a^2 sin 2t +a^2 t + (1/4)a^2 sin 4t +C I= (3/2)a^2 cos^(−1) (((a−x)/a))+(1/4)a^2 sin 4t−2a^2 sin 2t+C where cos 2t = ((a−x)/a)

$$\:\:\frac{\ddots\mathscr{BOBHANS}\iddots}{\Pi} \\ $$$$\:\mathrm{I}=\:\int\:\mathrm{x}\:\sqrt{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2a}−\mathrm{x}}}\:\mathrm{dx}\:\:\left[\:\mathrm{set}\:\mathrm{x}\:=\:\mathrm{a}−\mathrm{acos}\:\mathrm{2t}\:\right] \\ $$$$\mathrm{I}=\:\int\:\mathrm{a}\left(\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{2t}\right)\:\sqrt{\frac{\mathrm{a}\left(\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{2t}\right)}{\mathrm{a}\left(\mathrm{1}+\mathrm{cos}\:\mathrm{2t}\right)}}\:\left(\mathrm{2asin}\:\mathrm{2t}\right)\mathrm{dt} \\ $$$$\mathrm{I}=\:\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} \int\:\left(\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{2t}\right)\mathrm{sin}\:\mathrm{2t}\:\sqrt{\frac{\mathrm{2sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{t}}{\mathrm{2cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{t}}}\:\mathrm{dt} \\ $$$$\mathrm{I}=\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} \int\left(\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{2t}\right).\mathrm{2sin}\:\mathrm{t}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{t}\:.\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{t}}{\mathrm{cos}\:\mathrm{t}}\:\mathrm{dt} \\ $$$$\mathrm{I}=\:\mathrm{4a}^{\mathrm{2}} \:\int\left(\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{2t}\right).\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{t}\:\mathrm{dt} \\ $$$$\mathrm{I}=\:\mathrm{4a}^{\mathrm{2}} \int\:\left(\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{2t}\right)\left(\frac{\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{2t}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{dt} \\ $$$$\mathrm{I}=\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} \int\left(\mathrm{1}−\mathrm{2cos}\:\mathrm{2t}+\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{2t}\right)\mathrm{dt} \\ $$$$\mathrm{I}=\:\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} \left[\mathrm{t}−\mathrm{sin}\:\mathrm{2t}+\int\:\left(\frac{\mathrm{1}+\mathrm{cos}\:\mathrm{4t}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{dt}\:\right] \\ $$$$\mathrm{I}=\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} \mathrm{t}\:−\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{sin}\:\mathrm{2t}\:+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \mathrm{t}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \mathrm{sin}\:\mathrm{4t}\:+\mathrm{C} \\ $$$$\mathrm{I}=\:\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{cos}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{a}−\mathrm{x}}{\mathrm{a}}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \mathrm{sin}\:\mathrm{4t}−\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} \mathrm{sin}\:\mathrm{2t}+\mathrm{C} \\ $$$$\mathrm{where}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{2t}\:=\:\frac{\mathrm{a}−\mathrm{x}}{\mathrm{a}} \\ $$

Answered by john santu last updated on 13/Aug/20

((♣JS♠)/⧫) set x = 2a sin^2 υ ⇒ dx = 2a sin 2v dυ I= ∫ 2a sin^2 υ (√((2a sin^2 υ)/(2a−2a sin^2 υ))) (4a sin υ cos υ ) dv I= ∫2a sin^2 υ .((sin υ)/(cos υ)).(4a sin υ cos υ)dυ I= 8a^2 ∫sin^4 υ dυ I= 8a^2 ∫ (((1−cos 2υ)/2))^2 dυ I= 2a^2 ∫(1−2cos 2υ+((1+cos 4υ)/2))dυ I=2a^2 ∫((3/2)−2cos 2υ+cos 4υ)dυ I=2a^2 (((3υ)/2)−sin 2υ+(1/4)sin 4υ)+C I= 3a^2 υ−2a^2 sin 2υ+(a^2 /2)sin 4υ+C

$$\:\:\:\:\frac{\clubsuit\mathcal{JS}\spadesuit}{\blacklozenge} \\ $$$${set}\:{x}\:=\:\mathrm{2}{a}\:\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \:\upsilon\:\Rightarrow\:{dx}\:=\:\mathrm{2}{a}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{v}\:{d}\upsilon \\ $$$${I}=\:\int\:\mathrm{2}{a}\:\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \upsilon\:\sqrt{\frac{\mathrm{2}{a}\:\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \upsilon}{\mathrm{2}{a}−\mathrm{2}{a}\:\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \upsilon}} \\ $$$$\left(\mathrm{4}{a}\:\mathrm{sin}\:\upsilon\:\mathrm{cos}\:\upsilon\:\right)\:{dv}\: \\ $$$${I}=\:\int\mathrm{2}{a}\:\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \upsilon\:.\frac{\mathrm{sin}\:\upsilon}{\mathrm{cos}\:\upsilon}.\left(\mathrm{4}{a}\:\mathrm{sin}\:\upsilon\:\mathrm{cos}\:\upsilon\right){d}\upsilon \\ $$$${I}=\:\mathrm{8}{a}^{\mathrm{2}} \int\mathrm{sin}\:^{\mathrm{4}} \upsilon\:{d}\upsilon\: \\ $$$${I}=\:\mathrm{8}{a}^{\mathrm{2}} \:\int\:\left(\frac{\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{2}\upsilon}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} \:{d}\upsilon \\ $$$${I}=\:\mathrm{2}{a}^{\mathrm{2}} \int\left(\mathrm{1}−\mathrm{2cos}\:\mathrm{2}\upsilon+\frac{\mathrm{1}+\mathrm{cos}\:\mathrm{4}\upsilon}{\mathrm{2}}\right){d}\upsilon \\ $$$${I}=\mathrm{2}{a}^{\mathrm{2}} \int\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}−\mathrm{2cos}\:\mathrm{2}\upsilon+\mathrm{cos}\:\mathrm{4}\upsilon\right){d}\upsilon \\ $$$${I}=\mathrm{2}{a}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{3}\upsilon}{\mathrm{2}}−\mathrm{sin}\:\mathrm{2}\upsilon+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{sin}\:\mathrm{4}\upsilon\right)+{C} \\ $$$${I}=\:\mathrm{3}{a}^{\mathrm{2}} \upsilon−\mathrm{2}{a}^{\mathrm{2}} \mathrm{sin}\:\mathrm{2}\upsilon+\frac{{a}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\mathrm{sin}\:\mathrm{4}\upsilon+{C} \\ $$$$ \\ $$

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