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Question Number 107995 by Ar Brandon last updated on 13/Aug/20
$$\mathrm{Solve}\:\mathrm{the}\:\mathrm{differential}\:\mathrm{equation}; \\ $$$$\mathrm{x}''\left(\mathrm{t}\right)+\mathrm{2x}'\left(\mathrm{t}\right)+\mathrm{x}\left(\mathrm{t}\right)=\mathrm{1}+\mathrm{t} \\ $$$$\left(\mathrm{using}\:\mathrm{the}\:\mathrm{method}\:\mathrm{of}\:\mathrm{variation}\:\mathrm{of}\:\mathrm{parameters}\right) \\ $$
Answered by Ar Brandon last updated on 13/Aug/20
![x_(GH) : r^2 +2r+1=0 , (r+1)^2 =0, r_1 =−1=r_2 ⇒x_(GH) =(At+B)e^(−t) =Ate^(−t) +Be^(−t) By varying the parameters, Let x_P =A(t)te^(−t) +B(t)e^(−t) { ((A′(t)(te^(−t) )+B′(t)(e^(−t) )=0),(eqn(1))),((A′(t)(te^(−t) )′+B′(t)(e^(−t) )′=1+t),(eqn(2))) :} eqn(2)⇒A′(t)(e^(−t) −te^(−t) )−B′(t)(e^(−t) )=1+t ⇒−[A′(t)(te^(−t) )+B′(t)e^(−t) ]+A′(t)e^(−t) =1+t⇒A′(t)=e^t +te^t ⇒A(t)=∫(1+t)e^t dt=(1+t)e^t −e^t +k=te^t +k A(t) in eqn(1)⇒B′(t)=−A′(t)t⇒B(t)=−∫A′(t)tdt ⇒−B(t)=t∫A′(t)dt−∫{(dt/dt)∫A′(t)dt}dt ⇒B(t)=−t(te^t +k)+∫(te^t +k)dt ⇒B(t)=−t(te^t +k)+[te^t −e^t ]+kt+c ⇒B(t)=−t^2 e^t +te^t −e^t +c ⇒x_P =(te^t +k)te^(−t) +(−t^2 e^t +te^t −e^t +c)e^(−t) ⇒x_P =t^2 +kte^(−t) −t^2 +t−1+ce^(−t) =t−1+(kt+c)e^(−t) ⇒x_G =(At+B)e^(−t) +t−1+(kt+c)e^(−t) ⇒x_G =(αt+β)e^(−t) +t−1 , α=A+k , β=B+c](Q108030.png)
$$\mathrm{x}_{\mathrm{GH}} :\:\mathrm{r}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2r}+\mathrm{1}=\mathrm{0}\:,\:\left(\mathrm{r}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{0},\:\mathrm{r}_{\mathrm{1}} =−\mathrm{1}=\mathrm{r}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}_{\mathrm{GH}} =\left(\mathrm{At}+\mathrm{B}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} =\mathrm{Ate}^{−\mathrm{t}} +\mathrm{Be}^{−\mathrm{t}} \\ $$$$\mathrm{By}\:\mathrm{varying}\:\mathrm{the}\:\mathrm{parameters},\: \\ $$$$\mathrm{Let}\:\mathrm{x}_{\mathrm{P}} =\mathrm{A}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{te}^{−\mathrm{t}} +\mathrm{B}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} \\ $$$$\begin{cases}{\mathrm{A}'\left(\mathrm{t}\right)\left(\mathrm{te}^{−\mathrm{t}} \right)+\mathrm{B}'\left(\mathrm{t}\right)\left(\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} \right)=\mathrm{0}}&{\mathrm{eqn}\left(\mathrm{1}\right)}\\{\mathrm{A}'\left(\mathrm{t}\right)\left(\mathrm{te}^{−\mathrm{t}} \right)'+\mathrm{B}'\left(\mathrm{t}\right)\left(\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} \right)'=\mathrm{1}+\mathrm{t}}&{\mathrm{eqn}\left(\mathrm{2}\right)}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{eqn}\left(\mathrm{2}\right)\Rightarrow\mathrm{A}'\left(\mathrm{t}\right)\left(\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} −\mathrm{te}^{−\mathrm{t}} \right)−\mathrm{B}'\left(\mathrm{t}\right)\left(\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} \right)=\mathrm{1}+\mathrm{t} \\ $$$$\Rightarrow−\left[\mathrm{A}'\left(\mathrm{t}\right)\left(\mathrm{te}^{−\mathrm{t}} \right)+\mathrm{B}'\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} \right]+\mathrm{A}'\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} =\mathrm{1}+\mathrm{t}\Rightarrow\mathrm{A}'\left(\mathrm{t}\right)=\mathrm{e}^{\mathrm{t}} +\mathrm{te}^{\mathrm{t}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{A}\left(\mathrm{t}\right)=\int\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{t}} \mathrm{dt}=\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{t}} −\mathrm{e}^{\mathrm{t}} +\mathrm{k}=\mathrm{te}^{\mathrm{t}} +\mathrm{k} \\ $$$$\mathrm{A}\left(\mathrm{t}\right)\:\mathrm{in}\:\mathrm{eqn}\left(\mathrm{1}\right)\Rightarrow\mathrm{B}'\left(\mathrm{t}\right)=−\mathrm{A}'\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{t}\Rightarrow\mathrm{B}\left(\mathrm{t}\right)=−\int\mathrm{A}'\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{tdt} \\ $$$$\Rightarrow−\mathrm{B}\left(\mathrm{t}\right)=\mathrm{t}\int\mathrm{A}'\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt}−\int\left\{\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{dt}}\int\mathrm{A}'\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt}\right\}\mathrm{dt} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{B}\left(\mathrm{t}\right)=−\mathrm{t}\left(\mathrm{te}^{\mathrm{t}} +\mathrm{k}\right)+\int\left(\mathrm{te}^{\mathrm{t}} +\mathrm{k}\right)\mathrm{dt} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{B}\left(\mathrm{t}\right)=−\mathrm{t}\left(\mathrm{te}^{\mathrm{t}} +\mathrm{k}\right)+\left[\mathrm{te}^{\mathrm{t}} −\mathrm{e}^{\mathrm{t}} \right]+\mathrm{kt}+\mathrm{c} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{B}\left(\mathrm{t}\right)=−\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \mathrm{e}^{\mathrm{t}} +\mathrm{te}^{\mathrm{t}} −\mathrm{e}^{\mathrm{t}} +\mathrm{c} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}_{\mathrm{P}} =\left(\mathrm{te}^{\mathrm{t}} +\mathrm{k}\right)\mathrm{te}^{−\mathrm{t}} +\left(−\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \mathrm{e}^{\mathrm{t}} +\mathrm{te}^{\mathrm{t}} −\mathrm{e}^{\mathrm{t}} +\mathrm{c}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}_{\mathrm{P}} =\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{kte}^{−\mathrm{t}} −\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{t}−\mathrm{1}+\mathrm{ce}^{−\mathrm{t}} =\mathrm{t}−\mathrm{1}+\left(\mathrm{kt}+\mathrm{c}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}_{\mathrm{G}} =\left(\mathrm{At}+\mathrm{B}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} +\mathrm{t}−\mathrm{1}+\left(\mathrm{kt}+\mathrm{c}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}_{\mathrm{G}} =\left(\alpha\mathrm{t}+\beta\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} +\mathrm{t}−\mathrm{1}\:,\:\alpha=\mathrm{A}+\mathrm{k}\:,\:\beta=\mathrm{B}+\mathrm{c} \\ $$
Answered by Aziztisffola last updated on 13/Aug/20
$$\mathrm{x}''\left(\mathrm{t}\right)+\mathrm{2x}'\left(\mathrm{t}\right)+\mathrm{x}\left(\mathrm{t}\right)=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{r}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2r}+\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\left(\mathrm{r}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{r}=−\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{x}_{\mathrm{h}} \left(\mathrm{t}\right)=\left(\alpha\mathrm{t}+\beta\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} =\alpha\mathrm{te}^{−\mathrm{t}} +\beta\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} \\ $$$$\mathrm{x}_{\mathrm{p}} \left(\mathrm{t}\right)=\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \mathrm{te}^{−\mathrm{t}} +\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \mathrm{e}^{−\mathrm{t}} \\ $$$$\mathrm{w}=\begin{vmatrix}{\mathrm{te}^{−\mathrm{t}} }&{\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} }\\{\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} }&{−\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} }\end{vmatrix}=−\mathrm{te}^{−\mathrm{2t}} −\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{2t}} \\ $$$$=\left(−\mathrm{t}−\mathrm{1}+\mathrm{t}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{2t}} =−\mathrm{e}^{−\mathrm{2t}} \\ $$$$\:\mathrm{w}_{\mathrm{1}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{0}}&{\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} }\\{\mathrm{1}+\mathrm{t}}&{−\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} }\end{vmatrix}=−\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{t}\right) \\ $$$$\:\mathrm{w}_{\mathrm{2}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{te}^{−\mathrm{t}} }&{\mathrm{0}}\\{\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} }&{\mathrm{1}+\mathrm{t}}\end{vmatrix}=\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}\right)\mathrm{te}^{−\mathrm{t}} \\ $$$$\:\mathrm{u}_{\mathrm{1}} =\int\frac{\mathrm{w}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{w}}\mathrm{dt}=\int\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{t}} \mathrm{dt} \\ $$$$\:\mathrm{u}_{\mathrm{2}} =\int\frac{\mathrm{w}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{w}}\mathrm{dt}=−\int\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}\right)\mathrm{te}^{\mathrm{t}} \mathrm{dt} \\ $$$$\:\mathrm{x}_{\mathrm{p}} \left(\mathrm{t}\right)=\mathrm{te}^{−\mathrm{t}} \int\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{t}} \mathrm{dt}−\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} \int\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}\right)\mathrm{te}^{\mathrm{t}} \mathrm{dt} \\ $$$$\:\mathrm{x}\left(\mathrm{t}\right)=\mathrm{x}_{\mathrm{h}} \left(\mathrm{t}\right)+\mathrm{x}_{\mathrm{p}} \left(\mathrm{t}\right) \\ $$
Commented by Ar Brandon last updated on 13/Aug/20
Thanks
Answered by mathmax by abdo last updated on 14/Aug/20
![laplace method e ⇒L(y^(′′) )+2L(y^′ )+L(y) =L(1+t) ⇒ t^2 L(y)−ty(o)−y^′ (0)+2(t L(y)−y(0))+L(y) =L(1+t) ⇒(t^2 +2t +1)L(y) =ty(o)+2y(o)+y^′ (0)+L(1+t) ⇒ (t^2 +2t+1)L(y) =(t+2)y(o) +y^′ (0) +L(1+t) but L(1+t) =∫_0 ^∞ (1+x)e^(−tx) dx =∫_0 ^∞ e^(−tx) dx+∫_0 ^∞ xe^(−tx) dx =[−(1/t)e^(−tx) ]_(x=0) ^∞ +[−(x/t)e^(−tx) ]_(x=0) ^∞ +(1/t)∫_0 ^∞ e^(−tx) dx =(1/t) +(1/t)[−(1/t)e^(−tx) ]_(x=0) ^∞ =(1/t)+(1/t^2 ) e ⇒(t^2 +2t+1)L(y)=y(0)(t+2)+y^′ (0)+(1/t)+(1/t^2 ) ⇒ ⇒L(y) =y(0).((t+2)/((t+1)^2 )) +y^′ (0)(1/((t+1)^2 )) +(1/(t(t+1)^2 )) +(1/(t^2 (t+1)^2 )) ⇒ y(t) =y(0)L^(−1) (((t+2)/((t+2)^2 )))+y^′ (0)L^(−1) ((1/((t+1)^2 )))+L^(−1) ((1/(t(t+1)^2 ))) +L^(−1) ((1/(t^2 (t+1)^2 ))) rest decompisition ...be continued...](Q108033.png)
$$\mathrm{laplace}\:\mathrm{method}\: \\ $$$$\mathrm{e}\:\Rightarrow\mathrm{L}\left(\mathrm{y}^{''} \right)+\mathrm{2L}\left(\mathrm{y}^{'} \right)+\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)\:=\mathrm{L}\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)−\mathrm{ty}\left(\mathrm{o}\right)−\mathrm{y}^{'} \left(\mathrm{0}\right)+\mathrm{2}\left(\mathrm{t}\:\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)−\mathrm{y}\left(\mathrm{0}\right)\right)+\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)\:=\mathrm{L}\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}\right) \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2t}\:+\mathrm{1}\right)\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)\:=\mathrm{ty}\left(\mathrm{o}\right)+\mathrm{2y}\left(\mathrm{o}\right)+\mathrm{y}^{'} \left(\mathrm{0}\right)+\mathrm{L}\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2t}+\mathrm{1}\right)\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)\:=\left(\mathrm{t}+\mathrm{2}\right)\mathrm{y}\left(\mathrm{o}\right)\:+\mathrm{y}^{'} \left(\mathrm{0}\right)\:+\mathrm{L}\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}\right)\:\mathrm{but} \\ $$$$\mathrm{L}\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}\right)\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{tx}} \mathrm{dx}\:\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{tx}} \mathrm{dx}+\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{xe}^{−\mathrm{tx}} \mathrm{dx} \\ $$$$=\left[−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\mathrm{e}^{−\mathrm{tx}} \right]_{\mathrm{x}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:+\left[−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{t}}\mathrm{e}^{−\mathrm{tx}} \right]_{\mathrm{x}=\mathrm{0}} ^{\infty} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\mathrm{e}^{−\mathrm{tx}} \mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\left[−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\mathrm{e}^{−\mathrm{tx}} \right]_{\mathrm{x}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{e}\:\Rightarrow\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2t}+\mathrm{1}\right)\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)=\mathrm{y}\left(\mathrm{0}\right)\left(\mathrm{t}+\mathrm{2}\right)+\mathrm{y}^{'} \left(\mathrm{0}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)\:=\mathrm{y}\left(\mathrm{0}\right).\frac{\mathrm{t}+\mathrm{2}}{\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:+\mathrm{y}^{'} \left(\mathrm{0}\right)\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{y}\left(\mathrm{t}\right)\:=\mathrm{y}\left(\mathrm{0}\right)\mathrm{L}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{t}+\mathrm{2}}{\left(\mathrm{t}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }\right)+\mathrm{y}^{'} \left(\mathrm{0}\right)\mathrm{L}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\right)+\mathrm{L}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\right) \\ $$$$+\mathrm{L}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\right)\:\mathrm{rest}\:\mathrm{decompisition}\:...\mathrm{be}\:\mathrm{continued}... \\ $$