Question Number 108099 by bemath last updated on 14/Aug/20
$$\:\:\:\:\frac{\bigstar\mathcal{B}{e}\mathcal{M}{ath}\circledcirc}{\sqcap} \\ $$$$\:\left(\mathrm{1}\right)\:\int\:{x}\:\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left({x}\right)\:{dx}\:? \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right)\:{Find}\:{the}\:{distance}\:{of}\:{the}\:{point}\: \\ $$$$\left(\mathrm{3},\mathrm{3},\mathrm{1}\right)\:{from}\:{the}\:{plane}\:\Pi\:{with}\:{equation} \\ $$$$\left(\overset{\rightarrow} {{r}}−\overset{\rightarrow} {{i}}−\overset{\rightarrow} {{j}}\right)\bullet\left(\overset{\rightarrow} {{i}}−\overset{\rightarrow} {{j}}+\overset{\rightarrow} {{k}}\right)\:=\:\mathrm{0}\:,\:{also}\: \\ $$$${find}\:{the}\:{point}\:{on}\:{the}\:{plane}\:{that}\:{is} \\ $$$${nearest}\:{to}\:\left(\mathrm{3},\mathrm{3},\mathrm{1}\right). \\ $$$$ \\ $$
Commented by bemath last updated on 14/Aug/20
$${thank}\:{you}\:{both} \\ $$
Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 14/Aug/20
$$\int{xtan}^{−\mathrm{1}} {x} \\ $$$$\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}{tan}^{−\mathrm{1}} {x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}{tan}^{−\mathrm{1}} {x}−\frac{{x}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{tan}^{−\mathrm{1}} {x}+{C} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 14/Aug/20
$$\left.\mathrm{1}\right)\:\mathrm{A}\:=\int\:\mathrm{x}\:\mathrm{arctan}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\:\:\mathrm{by}\:\mathrm{parts} \\ $$$$\mathrm{A}\:=\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\:\mathrm{arctanx}\:−\int\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\: \\ $$$$=\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\mathrm{arctan}\left(\mathrm{x}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\:\frac{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\:\mathrm{arctan}\left(\mathrm{x}\right)−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}\:}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{arctan}\left(\mathrm{x}\right)\:+\mathrm{C} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)\mathrm{arctanx}\:−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\:+\mathrm{C} \\ $$
Answered by 1549442205PVT last updated on 15/Aug/20
![i^→ =(1,0,0),j^(→) =(0,1,0),k^(→) =(0,0,1) ⇒i ^(→) −j ^(→) +k ^(→) =(1,−1,1),r ^(→) =(x,y,z) ⇒r ^(→) −i ^(→) −j ^(→) =(x−1,y−1,z) (r ^(→) −i ^(→) −j ^(→) )•(i ^(→) −j ^(→) +k ^(→) ) =(x−1,y−1,z)•(1,−1,1)=0⇔x−1−y+1+z=0 ⇔x−y+z=0 d[(3,3,1),Π]=((∣3−3+1∣)/( (√(1^2 +(−1)^2 +1^2 ))))=(1/( (√3))) ii)Let M(x,y,y−x)∈Πbe any point of the plane Π which has the equation: x−y+z=0 and A(3,3,1).Then d(A,M)=(√((x−3)^2 +(y−3)^2 +(y−x−1)^2 )) we need to find smallest of the expression P=(x−3)^2 +(y−3)^2 +(y−x−1)^2 =2x^2 +2y^2 −4x−8y−2xy+19 =2x^2 −(2y+4)x+2y^2 −8y+19 =2[(x−((y+2)/2))^2 +2y^2 −8y+19−(((y+2)^2 )/2) =2[(x−((y+2)/2))^2 +((3y^2 −20y+34)/2) =2[(x−((y+2)/2))^2 +((3(y−((10)/3))^2 +(2/3))/2) 2[(x−((y+2)/2))^2 +((3(y−2)^2 )/2)+(1/3)≥(1/3) ⇒d(A,M)≥(1/( (√3))) The equality ocurrs if and only if { ((y−((10)/3)=0)),((x−((y+2)/2)=0)) :} ⇔ { ((x=8/3)),((y=10/3)) :}⇒z=2/3 Thus the nearest distance between the point A(3,3,1)and Π be (1/( (√3))) and the point M lie on the plane Πwhich is nearest to A having coordinate be M((8/3),((10)/3),(2/3)) other way Let H(x,y,y−x)∈Π.Then A(3,3,1)is nearest to the plane Π if and only if AH^(→) ⊥Π ⇔AH^(→) //n_Π ^(→) =(1,−1,1),since AH^(→) =(x−3,y−3,y−x−1), so AH^(→) //n_Π ^(→) ⇔((x−3)/1)=((y−3)/(−1))=((y−x−1)/1) ⇔ { ((x+y=6)),((2x−y=2)) :}⇔ { ((x=8/3)),((y=10/3)),((z=2/3)) :}⇒H((8/3),((10)/3),(2/3)) The distance between A and the plane Π equal to d(A,H)=(√((3−(8/3))^2 +(3−((10)/3))^2 +(1−(2/3))^2 )) =(√(3((1/3))^2 ))=(1/( (√3)))](Q108119.png)
$$\overset{\rightarrow} {\mathrm{i}}=\left(\mathrm{1},\mathrm{0},\mathrm{0}\right),\overset{\rightarrow} {\mathrm{j}}=\left(\mathrm{0},\mathrm{1},\mathrm{0}\right),\overset{\rightarrow} {\mathrm{k}}=\left(\mathrm{0},\mathrm{0},\mathrm{1}\right) \\ $$$$\Rightarrow\overset{\rightarrow} {\mathrm{i}\:}−\overset{\rightarrow} {\mathrm{j}\:}+\overset{\rightarrow} {\mathrm{k}\:}=\left(\mathrm{1},−\mathrm{1},\mathrm{1}\right),\overset{\rightarrow} {\mathrm{r}\:}=\left(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z}\right) \\ $$$$\Rightarrow\overset{\rightarrow} {\mathrm{r}\:}−\overset{\rightarrow} {\mathrm{i}\:}\:−\overset{\rightarrow} {\mathrm{j}\:}=\left(\mathrm{x}−\mathrm{1},\mathrm{y}−\mathrm{1},\mathrm{z}\right) \\ $$$$\left(\overset{\rightarrow} {\mathrm{r}\:}−\overset{\rightarrow} {\mathrm{i}\:\:}−\overset{\rightarrow} {\mathrm{j}\:}\right)\bullet\left(\overset{\rightarrow} {\mathrm{i}\:}−\overset{\rightarrow} {\mathrm{j}\:}\:+\overset{\rightarrow} {\mathrm{k}\:}\right) \\ $$$$=\left(\mathrm{x}−\mathrm{1},\mathrm{y}−\mathrm{1},\mathrm{z}\right)\bullet\left(\mathrm{1},−\mathrm{1},\mathrm{1}\right)=\mathrm{0}\Leftrightarrow\mathrm{x}−\mathrm{1}−\mathrm{y}+\mathrm{1}+\mathrm{z}=\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{x}−\mathrm{y}+\mathrm{z}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{d}\left[\left(\mathrm{3},\mathrm{3},\mathrm{1}\right),\Pi\right]=\frac{\mid\mathrm{3}−\mathrm{3}+\mathrm{1}\mid}{\:\sqrt{\mathrm{1}^{\mathrm{2}} +\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}^{\mathrm{2}} }}=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}} \\ $$$$\left.\mathrm{ii}\right)\mathrm{Let}\:\mathrm{M}\left(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{y}−\mathrm{x}\right)\in\Pi\mathrm{be}\:\mathrm{any}\:\mathrm{point}\:\mathrm{of} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{plane}\:\Pi\:\mathrm{which}\:\mathrm{has}\:\mathrm{the}\:\mathrm{equation}: \\ $$$$\mathrm{x}−\mathrm{y}+\mathrm{z}=\mathrm{0}\:\mathrm{and}\:\mathrm{A}\left(\mathrm{3},\mathrm{3},\mathrm{1}\right).\mathrm{Then} \\ $$$$\mathrm{d}\left(\mathrm{A},\mathrm{M}\right)=\sqrt{\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{y}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{y}−\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{need}\:\mathrm{to}\:\mathrm{find}\:\mathrm{smallest}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{expression} \\ $$$$\mathrm{P}=\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{y}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{y}−\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$=\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4x}−\mathrm{8y}−\mathrm{2xy}+\mathrm{19} \\ $$$$=\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{2y}+\mathrm{4}\right)\mathrm{x}+\mathrm{2y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{8y}+\mathrm{19} \\ $$$$=\mathrm{2}\left[\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{y}+\mathrm{2}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{2y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{8y}+\mathrm{19}−\frac{\left(\mathrm{y}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\right. \\ $$$$=\mathrm{2}\left[\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{y}+\mathrm{2}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{3y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{20y}+\mathrm{34}}{\mathrm{2}}\right. \\ $$$$=\mathrm{2}\left[\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{y}+\mathrm{2}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{3}\left(\mathrm{y}−\frac{\mathrm{10}}{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right. \\ $$$$\mathrm{2}\left[\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{y}+\mathrm{2}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{3}\left(\mathrm{y}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\geqslant\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right. \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{d}\left(\mathrm{A},\mathrm{M}\right)\geqslant\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}} \\ $$$$\mathrm{The}\:\mathrm{equality}\:\mathrm{ocurrs}\:\mathrm{if}\:\mathrm{and}\:\mathrm{only}\:\mathrm{if} \\ $$$$\begin{cases}{\mathrm{y}−\frac{\mathrm{10}}{\mathrm{3}}=\mathrm{0}}\\{\mathrm{x}−\frac{\mathrm{y}+\mathrm{2}}{\mathrm{2}}=\mathrm{0}}\end{cases}\:\Leftrightarrow\begin{cases}{\mathrm{x}=\mathrm{8}/\mathrm{3}}\\{\mathrm{y}=\mathrm{10}/\mathrm{3}}\end{cases}\Rightarrow\mathrm{z}=\mathrm{2}/\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{Thus}\:\mathrm{the}\:\mathrm{nearest}\:\mathrm{distance}\:\mathrm{between}\:\mathrm{the} \\ $$$$\mathrm{point}\:\mathrm{A}\left(\mathrm{3},\mathrm{3},\mathrm{1}\right)\mathrm{and}\:\Pi\:\mathrm{be}\:\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\:\mathrm{and}\:\:\mathrm{the}\:\mathrm{point} \\ $$$$\mathrm{M}\:\mathrm{lie}\:\mathrm{on}\:\mathrm{the}\:\mathrm{plane}\:\Pi\mathrm{which}\:\:\mathrm{is}\:\mathrm{nearest}\:\mathrm{to}\: \\ $$$$\mathrm{A}\:\mathrm{having}\:\:\mathrm{coordinate}\:\mathrm{be}\:\mathrm{M}\left(\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{3}},\frac{\mathrm{10}}{\mathrm{3}},\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right) \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{other}}\:\boldsymbol{\mathrm{way}}\: \\ $$$$\mathrm{Let}\:\mathrm{H}\left(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{y}−\mathrm{x}\right)\in\Pi.\mathrm{Then}\:\mathrm{A}\left(\mathrm{3},\mathrm{3},\mathrm{1}\right)\mathrm{is}\:\mathrm{nearest} \\ $$$$\mathrm{to}\:\mathrm{the}\:\mathrm{plane}\:\Pi\:\mathrm{if}\:\mathrm{and}\:\mathrm{only}\:\mathrm{if}\:\overset{\rightarrow} {\mathrm{AH}}\bot\Pi \\ $$$$\Leftrightarrow\overset{\rightarrow} {\mathrm{AH}}//\overset{\rightarrow} {\mathrm{n}_{\Pi} }=\left(\mathrm{1},−\mathrm{1},\mathrm{1}\right),\mathrm{since}\:\overset{\rightarrow} {\mathrm{AH}}=\left(\mathrm{x}−\mathrm{3},\mathrm{y}−\mathrm{3},\mathrm{y}−\mathrm{x}−\mathrm{1}\right), \\ $$$$\mathrm{so}\:\overset{\rightarrow} {\mathrm{AH}}//\overset{\rightarrow} {\mathrm{n}_{\Pi} }\Leftrightarrow\frac{\mathrm{x}−\mathrm{3}}{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{y}−\mathrm{3}}{−\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{y}−\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{1}} \\ $$$$\Leftrightarrow\begin{cases}{\mathrm{x}+\mathrm{y}=\mathrm{6}}\\{\mathrm{2x}−\mathrm{y}=\mathrm{2}}\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}{\mathrm{x}=\mathrm{8}/\mathrm{3}}\\{\mathrm{y}=\mathrm{10}/\mathrm{3}}\\{\mathrm{z}=\mathrm{2}/\mathrm{3}}\end{cases}\Rightarrow\mathrm{H}\left(\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{3}},\frac{\mathrm{10}}{\mathrm{3}},\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right) \\ $$$$\mathrm{The}\:\mathrm{distance}\:\mathrm{between}\:\mathrm{A}\:\mathrm{and}\:\mathrm{the}\:\mathrm{plane} \\ $$$$\Pi\:\mathrm{equal}\:\mathrm{to}\:\mathrm{d}\left(\mathrm{A},\mathrm{H}\right)=\sqrt{\left(\mathrm{3}−\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{3}−\frac{\mathrm{10}}{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\sqrt{\mathrm{3}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}} \\ $$