Question Number 108283 by Ar Brandon last updated on 16/Aug/20
$$\mathrm{Given}\:\mathrm{the}\:\mathrm{function}\:\Gamma\:\mathrm{defined}\:\mathrm{by}\:\Gamma\left(\mathrm{x}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{+\infty} \mathrm{t}^{\mathrm{x}−\mathrm{1}} \mathrm{e}^{−\mathrm{t}} \mathrm{dt} \\ $$$$\mathrm{1}.\:\:\mathrm{What}\:\mathrm{is}\:\mathrm{the}\:\mathrm{domain}\:\mathrm{of}\:\mathrm{definition}\:\mathrm{of}\:\Gamma\:? \\ $$$$\mathrm{2}.\:\:\mathrm{Show}\:\mathrm{that}\:\forall\mathrm{x}\in\:\mathrm{D}\Gamma,\:\mathrm{x}\Gamma\left(\mathrm{x}\right)=\Gamma\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\:\mathrm{and}\:\mathrm{deduce}\:\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:\Gamma\left(\mathrm{n}\right),\:\mathrm{n}\in\mathbb{N}^{\ast} \\ $$$$\mathrm{3}.\:\:\mathrm{Assuming}\:\int_{\mathrm{0}} ^{+\infty} \mathrm{e}^{−\mathrm{u}^{\mathrm{2}} } =\frac{\sqrt{\pi}}{\mathrm{2}},\:\mathrm{calculate}\:\Gamma\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\:\mathrm{and}\:\mathrm{deduce}\:\mathrm{that} \\ $$$$\:\:\:\:\:\Gamma\left(\mathrm{n}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)=\frac{\left(\mathrm{2n}\right)!\sqrt{\pi}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} } \mathrm{n}!} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 16/Aug/20
![1)Γ(x)=∫_0 ^∞ t^(x−1) e^(−t) dt =∫_0 ^1 t^(x−1) e^(−t) dt +∫_1 ^(+∞) t^(x−1) e^(−t) dt at v(0) t^(x−1) e^(−t) ∼t^(x−1) and ∫_0 ^1 t^(x−1) dt =∫_0 ^1 (dt/t^(1−x) ) conv ⇔1−x<1 ⇒x>0 at +∞ we have lim_(t→+∞) t^2 t^(x−1 ) e^(−t) =lim_(t→0) t^(x+1) e^(−t) =0 ⇒ ∫_1 ^∞ t^(x−1) e^(−t) dt converge for x>0 ⇒D_Γ =]0,+∞[ 2)Γ(x+1) =∫_0 ^∞ t^x e^(−t) dt =_(bypsrts) [−t^x e^(−t) ]_(t=0) ^∞ +∫_0 ^∞ xt^(x−1) e^(−t) dt =x ∫_0 ^∞ t^(x−1) e^(−t) dt =xΓ(x) ⇒for n natural Γ(n+1) =nΓ(n−1)=n(n−1)Γ(n−1)=...=n!Γ(1)=n! generaly Γ(x+n) =(x+n−1)(x+n−2)....(x+1)xΓ(x) 3)Γ((1/2)) =∫_0 ^∞ t^(−(1/2)) e^(−t) dt =∫_0 ^∞ (e^(−t) /(√t))dt =_((√t)=u) ∫_0 ^∞ (e^(−u^2 ) /u)(2u)du =2∫_0 ^∞ e^(−u^2 ) du =2.((√π)/2) =(√π) ⇒Γ((1/2))=(√π) 4) Γ((1/2)+n) =((1/2)+n−1)((1/2)+n−2).....((1/2)+1)(1/2)Γ((1/2)) =((2n−1)/2).((2n−3)/2) .......(3/2).(1/2)(√π) =((1.3.5.....(2n−3)(2n−1))/2^n )(√π) =((1.2.3.4.5.....(2n−1)(2n))/(2^n (2.4.6......(2n))))(√π) =(((2n)!)/(2^(2n) n!))(√π)](Q108301.png)
$$\left.\mathrm{1}\right)\Gamma\left(\mathrm{x}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \mathrm{t}^{\mathrm{x}−\mathrm{1}} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} \mathrm{dt}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{t}^{\mathrm{x}−\mathrm{1}} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} \:\mathrm{dt}\:+\int_{\mathrm{1}} ^{+\infty} \:\mathrm{t}^{\mathrm{x}−\mathrm{1}} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} \:\mathrm{dt} \\ $$$$\mathrm{at}\:\mathrm{v}\left(\mathrm{0}\right)\:\:\mathrm{t}^{\mathrm{x}−\mathrm{1}} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} \:\sim\mathrm{t}^{\mathrm{x}−\mathrm{1}} \:\mathrm{and}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{t}^{\mathrm{x}−\mathrm{1}} \mathrm{dt}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}^{\mathrm{1}−\mathrm{x}} }\:\mathrm{conv}\:\Leftrightarrow\mathrm{1}−\mathrm{x}<\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{x}>\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{at}\:\:+\infty\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\:\mathrm{lim}_{\mathrm{t}\rightarrow+\infty} \mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{t}^{\mathrm{x}−\mathrm{1}\:} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} \:=\mathrm{lim}_{\mathrm{t}\rightarrow\mathrm{0}} \:\:\mathrm{t}^{\mathrm{x}+\mathrm{1}} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} \:=\mathrm{0}\:\Rightarrow \\ $$$$\left.\int_{\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{t}^{\mathrm{x}−\mathrm{1}} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} \:\mathrm{dt}\:\mathrm{converge}\:\mathrm{for}\:\mathrm{x}>\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{D}_{\Gamma} =\right]\mathrm{0},+\infty\left[\right. \\ $$$$\left.\mathrm{2}\right)\Gamma\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{t}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} \:\mathrm{dt}\:=_{\mathrm{bypsrts}} \:\:\:\:\left[−\mathrm{t}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} \right]_{\mathrm{t}=\mathrm{0}} ^{\infty} +\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{xt}^{\mathrm{x}−\mathrm{1}} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} \mathrm{dt} \\ $$$$=\mathrm{x}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{t}^{\mathrm{x}−\mathrm{1}} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} \:\mathrm{dt}\:=\mathrm{x}\Gamma\left(\mathrm{x}\right)\:\Rightarrow\mathrm{for}\:\mathrm{n}\:\mathrm{natural} \\ $$$$\Gamma\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\:=\mathrm{n}\Gamma\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)=\mathrm{n}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\Gamma\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)=...=\mathrm{n}!\Gamma\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{n}! \\ $$$$\mathrm{generaly}\:\Gamma\left(\mathrm{x}+\mathrm{n}\right)\:=\left(\mathrm{x}+\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{n}−\mathrm{2}\right)....\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}\Gamma\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\left.\mathrm{3}\right)\Gamma\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{t}^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} \:\mathrm{dt}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} }{\sqrt{\mathrm{t}}}\mathrm{dt}\:=_{\sqrt{\mathrm{t}}=\mathrm{u}} \:\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{u}^{\mathrm{2}} } }{\mathrm{u}}\left(\mathrm{2u}\right)\mathrm{du} \\ $$$$=\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{u}^{\mathrm{2}} } \mathrm{du}\:=\mathrm{2}.\frac{\sqrt{\pi}}{\mathrm{2}}\:=\sqrt{\pi}\:\Rightarrow\Gamma\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)=\sqrt{\pi} \\ $$$$\left.\mathrm{4}\right)\:\Gamma\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\mathrm{n}\right)\:=\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\mathrm{n}−\mathrm{2}\right).....\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\mathrm{1}\right)\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\Gamma\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{2n}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}.\frac{\mathrm{2n}−\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\:.......\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}.\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sqrt{\pi} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}.\mathrm{3}.\mathrm{5}.....\left(\mathrm{2n}−\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{2n}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} }\sqrt{\pi} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}.\mathrm{2}.\mathrm{3}.\mathrm{4}.\mathrm{5}.....\left(\mathrm{2n}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2n}\right)}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{2}.\mathrm{4}.\mathrm{6}......\left(\mathrm{2n}\right)\right)}\sqrt{\pi}\:=\frac{\left(\mathrm{2n}\right)!}{\mathrm{2}^{\mathrm{2n}} \mathrm{n}!}\sqrt{\pi} \\ $$
Commented by Ar Brandon last updated on 16/Aug/20
Thanks