Question Number 108371 by Skabetix last updated on 16/Aug/20 | ||
$${prove}\:{by}\:{reccurence}\: \\ $$ $$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}+...+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}}<{or}\:=\frac{{n}}{\mathrm{2}} \\ $$ $${thanks} \\ $$ | ||
Answered by Aziztisffola last updated on 16/Aug/20 | ||
$$\:\mathrm{for}\:\mathrm{n}=\mathrm{1}\:\Rightarrow\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\leqslant\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\:\mathrm{true} \\ $$ $$\:\mathrm{suppose}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}+...+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}}\leqslant\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{2}} \\ $$ $$\:\mathrm{and}\:\mathrm{prove}\:\mathrm{that}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}+...+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{2}}\leqslant\frac{\mathrm{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$ $$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}+...+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{2}}\leqslant\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{2}} \\ $$ $$\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)}\leqslant\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\:=\frac{\mathrm{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$ $$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}+...+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{2}}\leqslant\frac{\mathrm{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$ $$\mathrm{hence}\:\forall\mathrm{n}\in\mathbb{N}^{\ast} \:\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2k}}\leqslant\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{2}} \\ $$ | ||
Answered by 1549442205PVT last updated on 16/Aug/20 | ||
$$\left.\mathrm{i}\right)\mathrm{For}\:\mathrm{n}=\mathrm{1}\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\Rightarrow\mathrm{true} \\ $$ $$\left.\mathrm{ii}\right)\mathrm{Consider}\:\mathrm{n}\geqslant\mathrm{5}\:\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$ $$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}<\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}.\mathrm{5}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}},\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{12}}<\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}.\mathrm{6}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}... \\ $$ $$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}}<\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}} \\ $$ $$\Rightarrow\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{12}}+...+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}}<\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}+... \\ $$ $$...+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}.\mathrm{Hence}, \\ $$ $$\mathrm{Adding}\:\mathrm{up}\:\mathrm{we}\:\mathrm{get} \\ $$ $$\mathrm{LHS}<\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}<\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{2}} \\ $$ $$\Leftrightarrow\frac{\mathrm{12}+\mathrm{6}+\mathrm{4}+\mathrm{3}}{\mathrm{24}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}<\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{2}}\Leftrightarrow\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{24}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}<\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{2}} \\ $$ $$\Leftrightarrow\frac{\mathrm{25n}−\mathrm{24}}{\mathrm{24n}}<\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{2}}\Leftrightarrow\mathrm{12n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{25n}+\mathrm{24}>\mathrm{0} \\ $$ $$\Leftrightarrow\mathrm{12}\left(\mathrm{n}−\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{24}}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{24}−\frac{\mathrm{625}}{\mathrm{48}}>\mathrm{0} \\ $$ $$\mathrm{is}\:\mathrm{true}\:\forall\mathrm{n}\geqslant\mathrm{2} \\ $$ $$\mathrm{Consequently}, \\ $$ $$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}+...+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\boldsymbol{{n}}}\leqslant\frac{\boldsymbol{\mathrm{n}}}{\mathrm{2}}\left(\boldsymbol{\mathrm{q}}.\boldsymbol{\mathrm{e}}.\boldsymbol{\mathrm{d}}\right) \\ $$ $$ \\ $$ | ||