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Question Number 108377 by 1549442205PVT last updated on 16/Aug/20
$$\mathrm{There}\:\mathrm{are}\:\mathrm{20}\:\mathrm{white}\:\mathrm{and}\:\mathrm{10}\:\mathrm{black}\:\mathrm{balls} \\ $$$$\mathrm{in}\:\mathrm{the}\:\mathrm{box}.\mathrm{In}\:\mathrm{turn}\:\mathrm{draw}\:\mathrm{4}\:\mathrm{balls}\:\mathrm{and} \\ $$$$\mathrm{each}\:\mathrm{draw}\:\mathrm{ball}\:\mathrm{is}\:\mathrm{returned}\:\mathrm{to}\:\mathrm{the}\:\mathrm{box} \\ $$$$\mathrm{before}\:\mathrm{the}\:\mathrm{next}\:\mathrm{ball}\:\mathrm{is}\:\mathrm{drawn}\:\mathrm{and}\:\mathrm{the}\: \\ $$$$\mathrm{balls}\:\mathrm{in}\:\mathrm{the}\:\mathrm{box}\:\mathrm{are}\:\mathrm{mixed}.\mathrm{What}\:\mathrm{is}\:\mathrm{the} \\ $$$$\mathrm{probability}\:\mathrm{that}\:\mathrm{out}\:\mathrm{of}\:\mathrm{four}\:\mathrm{balls} \\ $$$$\mathrm{taken}\:\mathrm{out}\:\mathrm{there}\:\mathrm{will}\:\mathrm{be}\:\mathrm{two}\:\mathrm{white}\:\mathrm{balls}? \\ $$
Answered by bobhans last updated on 16/Aug/20
$$\:\:\:\:\:\:\:\frac{\boldsymbol{{bobhans}}}{\iddots\ddots} \\ $$$${by}\:{binomial}\:{distribution}\:{probability} \\ $$$${p}\:=\:\frac{\mathrm{20}}{\mathrm{30}}\:=\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\:,\:{q}\:=\:\mathrm{1}−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\ $$$${let}\:{X}\:{is}\:{randomly}\:{variable}\:.\:{we}\:{want}\:{compute} \\ $$$${P}\left({X}=\mathrm{2}\right)\:=\:{C}_{\:\mathrm{2}} ^{\:\mathrm{4}} \:{p}^{\mathrm{2}} \:{q}^{\mathrm{2}} \:=\:\frac{\mathrm{4}×\mathrm{3}}{\mathrm{2}×\mathrm{1}}.\:\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} .\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\mathrm{6}×\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{81}}\:=\:\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{27}} \\ $$
Commented by 1549442205PVT last updated on 17/Aug/20
$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{Sir}.\mathrm{The}\:\mathrm{result}\:\mathrm{is}\:\mathrm{very}\:\mathrm{correct} \\ $$