Question Number 108453 by gospelkenny last updated on 17/Aug/20 | ||
$$\mathrm{If}\:\:{R}=\left(\mathrm{7}+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}{n}} \:=\:{I}+{f},\:\mathrm{where}\:{I}\:\in\:{N} \\ $$ $$\mathrm{and}\:\:\:\mathrm{0}<{f}<\mathrm{1},\:\mathrm{then}\:{R}\left(\mathrm{1}−{f}\right)\:\mathrm{equals} \\ $$ | ||
Answered by 1549442205PVT last updated on 17/Aug/20 | ||
$$\mathrm{Set}\:\mathrm{Q}=\left(\mathrm{7}−\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2n}} \Rightarrow\sqrt{\mathrm{RQ}}=\left[\left(\mathrm{7}+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{7}−\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{n}} =\mathrm{1}\left(\ast\right)\right. \\ $$ $$\mathrm{We}\:\mathrm{prove}\:\mathrm{that}\:\:\mathrm{S}=\:\sqrt{\mathrm{R}}+\sqrt{\mathrm{Q}}\in\mathbb{N}^{\ast} .\mathrm{Indeed}, \\ $$ $$\left.\mathrm{i}\right)\mathrm{For}\:\mathrm{n}=\mathrm{1we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{S}=\left(\mathrm{7}+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\right)+\left(\mathrm{7}−\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\right) \\ $$ $$=\mathrm{14}\Rightarrow\mathrm{State}\:\mathrm{is}\:\mathrm{true}\:\mathrm{for}\:\mathrm{n}=\mathrm{1} \\ $$ $$\left.\mathrm{ii}\right)\mathrm{Suppose}\:\mathrm{State}\:\mathrm{is}\:\mathrm{true}\:\forall\:\mathrm{n}=\overline {\mathrm{1}...\mathrm{k}} \\ $$ $$\:\Rightarrow\mathrm{S}_{\mathrm{k}} =\left(\mathrm{7}+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{k}} +\left(\mathrm{7}−\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{k}} =\mathrm{m}_{\mathrm{k}} \in\mathbb{N} \\ $$ $$\left.\mathrm{iii}\right)\mathrm{Consider}\:\mathrm{S}_{\mathrm{k}+\mathrm{1}} =\left(\mathrm{7}+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{k}+\mathrm{1}} +\left(\mathrm{7}−\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{k}+\mathrm{1}} \\ $$ $$=\left[\left(\mathrm{7}+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{k}} +\left(\mathrm{7}−\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{k}} \right]\left[\left(\mathrm{7}+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\right)+\left(\mathrm{7}−\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\right)\right] \\ $$ $$−\left[\left(\mathrm{7}+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\right)×\left(\mathrm{7}−\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\right)\right]\left[\left(\mathrm{7}+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} +\left(\mathrm{7}−\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} \right] \\ $$ $$=\mathrm{14S}_{\mathrm{k}} −\mathrm{S}_{\mathrm{k}−\mathrm{1}} =\mathrm{14m}_{\mathrm{k}} −\mathrm{m}_{\mathrm{k}−\mathrm{1}} \in\mathbb{N}^{\ast} \\ $$ $$\left(\mathrm{by}\:\mathrm{the}\:\mathrm{introduction}\:\mathrm{hypothesis}\:\mathrm{m}_{\mathrm{k}} ,\mathrm{m}_{\mathrm{k}−\mathrm{1}} \in\mathbb{N}^{\ast} \right) \\ $$ $$\mathrm{This}\:\mathrm{shows}\:\mathrm{that}\:\mathrm{the}\:\mathrm{state}\:\mathrm{is}\:\mathrm{also}\:\mathrm{true}\:\mathrm{for}\:\mathrm{n}=\mathrm{k}+\mathrm{1} \\ $$ $$\mathrm{Hence}\:\mathrm{by}\:\mathrm{the}\:\mathrm{imtroduction}\:\mathrm{principle} \\ $$ $$\mathrm{the}\:\mathrm{state}\:\mathrm{is}\:\mathrm{true}\:\mathrm{for}\:\forall\mathrm{n}\in\mathbb{N}^{\ast} \mathrm{which}\: \\ $$ $$\mathrm{means}\:\left(\sqrt{\mathrm{R}}+\sqrt{\mathrm{Q}}\right)\in\mathbb{N}^{\ast} \Rightarrow\left(\sqrt{\mathrm{R}}+\sqrt{\mathrm{Q}}\right)^{\mathrm{2}} \in\mathbb{N}^{\ast} \\ $$ $$\Leftrightarrow\mathrm{R}+\mathrm{Q}=\left(\sqrt{\mathrm{R}}+\sqrt{\mathrm{Q}}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\in\mathbb{N}^{\ast} \\ $$ $$\Rightarrow\left(\mathrm{7}+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}\boldsymbol{{n}}} +\left(\mathrm{7}−\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}\boldsymbol{{n}}} =\boldsymbol{\mathrm{q}}\in\mathbb{N}^{\ast} \:\left(\ast\ast\right) \\ $$ $$\mathrm{On}\:\mathrm{the}\:\mathrm{other}\:\mathrm{hands},\mathrm{by}\:\mathrm{above}\:\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$ $$\left[\left(\mathrm{7}+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}{n}} ×\left(\mathrm{7}−\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}{n}} \right]=\mathrm{1} \\ $$ $$\Rightarrow\mathrm{0}<\left(\mathrm{7}−\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}{n}} =\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{7}+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}{n}} }<\mathrm{1} \\ $$ $$\mathrm{Therefore}\:,\mathrm{if}\:\mathrm{R}=\left(\mathrm{7}+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}{n}} =\mathrm{I}+\mathrm{f}\:\mathrm{and} \\ $$ $$\mathrm{I}\in\mathbb{N}\:\mathrm{and}\:\mathrm{0}<\mathrm{f}<\mathrm{1}\:\mathrm{then}\:\mathrm{by}\:\left(\ast\ast\right) \\ $$ $$\boldsymbol{\mathrm{I}}=\boldsymbol{\mathrm{q}}\:\boldsymbol{\mathrm{and}}\:\boldsymbol{\mathrm{f}}=\left(\mathrm{7}−\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}\boldsymbol{{n}}} \:.\mathrm{It}\:\mathrm{follows}\:\mathrm{that} \\ $$ $$\mathrm{R}\left(\mathrm{1}−\mathrm{f}\right)=\mathrm{R}−\mathrm{Rf}=\left(\mathrm{7}+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}{n}} −\left[\left(\mathrm{7}+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}{n}} ×\left(\mathrm{7}−\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}{n}} \right] \\ $$ $$=\left(\mathrm{7}+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}\boldsymbol{{n}}} −\mathrm{1}\: \\ $$ $$\mathrm{Thus},\boldsymbol{\mathrm{R}}\left(\mathrm{1}−\boldsymbol{\mathrm{f}}\right)=\left(\mathrm{7}+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}\boldsymbol{{n}}} −\mathrm{1} \\ $$ | ||