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Question Number 108491 by Ar Brandon last updated on 17/Aug/20
$$\left(\mathrm{1}+\mathrm{2x}\right)\mathrm{y}''+\left(\mathrm{4x}−\mathrm{2}\right)\mathrm{y}'−\mathrm{8y}=\mathrm{0} \\ $$
Answered by Ar Brandon last updated on 20/Aug/20
![6. (1+2x)y′′+(4x−2)y′−8y=0 ⇒(2x+1)(y′′+2y′)+4(y′+2y)=0 Let u=y′+2y⇒u′=y′′+2y′ ⇒(2x+1)u′−4u=0⇒((u′)/u)=(4/(2x+1)) ⇒∫((u′)/u)du=∫(4/(2x+1))dx⇒lnu=2ln∣2x+1∣+K u=e^(ln(2x+1)^2 +K) =e^k (2x+1)^2 =C(2x+1)^2 ⇒y′+2y=C(2x+1)^2 h→r+2=0⇒r=−2⇒y_(GH) =λe^(−2x) b. y_p (x)=λ(x)e^(−2x) ⇒y′(x)=−2λ(x)e^(−2x) +λ′(x)e^(−2x) ⇒(−2λ(x)e^(−2x) +λ′(x)e^(−2x) )+2λ(x)e^(−2x) =C(2x+1)^2 ⇒λ′(x)e^(−2x) =C(2x+1)^2 ⇒λ(x)=C∫e^(2x) (2x+1)^2 dx { ((u(x)=(2x+1)^2 )),((v′(x)=e^(2x) )) :}⇒ { ((u′(x)=4(2x+1))),((v=(e^(2x) /2))) :} ⇒λ(x)=C[((e^(2x) (2x+1)^2 )/2)−2∫e^(2x) (2x+1)dx] =C[((e^(2x) (2x+1)^2 )/2)−2((((2x+1))/2)e^(2x) −∫e^(2x) dx)] =((Ce^(2x) (2x+1)^2 )/2)−(2x+1)e^(2x) +e^(2x) ⇒y_p (x)=((C(2x+1)^2 )/2)−(2x+1)+1 c. y_G =λe^(−2x) +((C(2x+1)^2 )/2)−(2x+1)+1](Q108960.png)
$$\mathrm{6}.\:\left(\mathrm{1}+\mathrm{2x}\right)\mathrm{y}''+\left(\mathrm{4x}−\mathrm{2}\right)\mathrm{y}'−\mathrm{8y}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{y}''+\mathrm{2y}'\right)+\mathrm{4}\left(\mathrm{y}'+\mathrm{2y}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{Let}\:\mathrm{u}=\mathrm{y}'+\mathrm{2y}\Rightarrow\mathrm{u}'=\mathrm{y}''+\mathrm{2y}' \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{u}'−\mathrm{4u}=\mathrm{0}\Rightarrow\frac{\mathrm{u}'}{\mathrm{u}}=\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{2x}+\mathrm{1}} \\ $$$$\Rightarrow\int\frac{\mathrm{u}'}{\mathrm{u}}\mathrm{du}=\int\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}\mathrm{dx}\Rightarrow\mathrm{lnu}=\mathrm{2ln}\mid\mathrm{2x}+\mathrm{1}\mid+\mathrm{K} \\ $$$$\mathrm{u}=\mathrm{e}^{\mathrm{ln}\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{K}} =\mathrm{e}^{\mathrm{k}} \left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{C}\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}'+\mathrm{2y}=\mathrm{C}\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{h}\rightarrow\mathrm{r}+\mathrm{2}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{r}=−\mathrm{2}\Rightarrow\mathrm{y}_{\mathrm{GH}} =\lambda\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \\ $$$$\mathrm{b}.\:\mathrm{y}_{\mathrm{p}} \left(\mathrm{x}\right)=\lambda\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \Rightarrow\mathrm{y}'\left(\mathrm{x}\right)=−\mathrm{2}\lambda\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} +\lambda'\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \\ $$$$\Rightarrow\left(−\mathrm{2}\lambda\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} +\lambda'\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \right)+\mathrm{2}\lambda\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} =\mathrm{C}\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\lambda'\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} =\mathrm{C}\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\lambda\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{C}\int\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{dx} \\ $$$$\begin{cases}{\mathrm{u}\left(\mathrm{x}\right)=\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\\{\mathrm{v}'\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} }\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}{\mathrm{u}'\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{4}\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)}\\{\mathrm{v}=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} }{\mathrm{2}}}\end{cases} \\ $$$$\Rightarrow\lambda\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{C}\left[\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}−\mathrm{2}\int\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{dx}\right] \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{C}\left[\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}−\mathrm{2}\left(\frac{\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} −\int\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \mathrm{dx}\right)\right] \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{Ce}^{\mathrm{2x}} \left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}−\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} +\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}_{\mathrm{p}} \left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{C}\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}−\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{c}.\:\mathrm{y}_{\mathrm{G}} =\lambda\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} +\frac{\mathrm{C}\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}−\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{1} \\ $$