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Question Number 108571 by Dwaipayan Shikari last updated on 17/Aug/20

Answered by mr W last updated on 17/Aug/20

e^x =1+Σ_(n=1) ^∞ (x^n /(n!)) e=1+Σ_(n=1) ^∞ (1/(n!)) ⇒Σ_(n=1) ^∞ (1/(n!))=e−1 ((e^x −1)/x)=Σ_(n=1) ^∞ (x^(n−1) /(n!)) −((e^x −1)/x^2 )+(e^x /x)=Σ_(n=1) ^∞ (n−1)(x^(n−2) /(n!)) −((e^x −1)/x)+e^x =Σ_(n=1) ^∞ (n−1)(x^(n−1) /(n!)) ((e^x −1)/x^2 )−(e^x /x)+e^x =Σ_(n=1) ^∞ (n−1)^2 (x^(n−2) /(n!)) ((e−1)/1)−e+e=Σ_(n=1) ^∞ (((n−1)^2 )/(n!)) ⇒Σ_(n=1) ^∞ (((n−1)^2 )/(n!))=e−1 Σ_(n=1) ^∞ ((2+(n−1)^2 )/(n!))=2(e−1)+(e−1)=3(e−1)

$${e}^{{x}} =\mathrm{1}+\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{{n}} }{{n}!} \\ $$$${e}=\mathrm{1}+\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}!} \\ $$$$\Rightarrow\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}!}={e}−\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$$$\frac{{e}^{{x}} −\mathrm{1}}{{x}}=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}!} \\ $$$$−\frac{{e}^{{x}} −\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }+\frac{{e}^{{x}} }{{x}}=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left({n}−\mathrm{1}\right)\frac{{x}^{{n}−\mathrm{2}} }{{n}!} \\ $$$$−\frac{{e}^{{x}} −\mathrm{1}}{{x}}+{e}^{{x}} =\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left({n}−\mathrm{1}\right)\frac{{x}^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}!} \\ $$$$\frac{{e}^{{x}} −\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }−\frac{{e}^{{x}} }{{x}}+{e}^{{x}} =\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left({n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:\frac{{x}^{{n}−\mathrm{2}} }{{n}!} \\ $$$$\frac{{e}−\mathrm{1}}{\mathrm{1}}−{e}+{e}=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\:\frac{\left({n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{{n}!} \\ $$$$\Rightarrow\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\:\frac{\left({n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{{n}!}={e}−\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{2}+\left({n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{{n}!}=\mathrm{2}\left({e}−\mathrm{1}\right)+\left({e}−\mathrm{1}\right)=\mathrm{3}\left({e}−\mathrm{1}\right) \\ $$

Commented by ajfour last updated on 17/Aug/20

Very Nice! Thank you Sir.

$$\mathcal{V}{ery}\:\mathcal{N}{ice}!\:\:\mathcal{T}{hank}\:{you}\:{Sir}. \\ $$

Commented by Dwaipayan Shikari last updated on 17/Aug/20

Great sir!

$${Great}\:{sir}! \\ $$

Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 17/Aug/20

y_0 △y_0 △^2 y_0 2 1 3 2 3 6 2 5 11 2 7 18 φ(y)=2+(n−1)+(n−1)(n−2)=2+(n−1)^2 =n^2 −2n+3 Σ_(n=1) ^( ∞) ((n^2 −2n+3)/(n!))=Σ_(n=1) ^∞ (n^2 /(n!))−Σ_(n=1) ^∞ ((2n)/(n!))+Σ^∞ (3/(n!)) Σ^∞ (3/(n!))=3(e−1) Σ_(n=1) ^∞ (n^2 /(n!))=(1^2 /(1!))+(2^2 /(2!))+(3^2 /(3!))+....=1+(2/(1!))+(3/(2!))+(4/(3!))+.... =(1+(1/(1!))+(1/(2!))+(1/(3!))+...)+((1/(1!))+(2/(2!))+(3/(3!))+...) =e+(1+ (1/(1!))+(1/(2!))+...)=e+e=2e Σ^∞ ((2n)/(n!))=2((1/(1!))+(2/(2!))+....)=2(1+(1/(1!))+(1/(2!))+....)=2e So Σ^∞ ((n^2 −2n+3)/(n!))=3(e−1)

$${y}_{\mathrm{0}} \:\:\bigtriangleup{y}_{\mathrm{0}} \:\bigtriangleup^{\mathrm{2}} {y}_{\mathrm{0}} \\ $$$$\mathrm{2} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}\:\:\:\: \\ $$$$\mathrm{3}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{2} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{6}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{2} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{5} \\ $$$$\mathrm{11}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{2} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{7} \\ $$$$\mathrm{18} \\ $$$$\phi\left({y}\right)=\mathrm{2}+\left({n}−\mathrm{1}\right)+\left({n}−\mathrm{1}\right)\left({n}−\mathrm{2}\right)=\mathrm{2}+\left({n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} ={n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{n}+\mathrm{3} \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\:\infty} {\sum}}\frac{{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{n}+\mathrm{3}}{{n}!}=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{n}^{\mathrm{2}} }{{n}!}−\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{2}{n}}{{n}!}+\overset{\infty} {\sum}\frac{\mathrm{3}}{{n}!} \\ $$$$\:\:\:\:\:\overset{\infty} {\sum}\frac{\mathrm{3}}{{n}!}=\mathrm{3}\left({e}−\mathrm{1}\right) \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{n}^{\mathrm{2}} }{{n}!}=\frac{\mathrm{1}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}!}+\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}!}+\frac{\mathrm{3}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{3}!}+....=\mathrm{1}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{1}!}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}!}+\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}!}+.... \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}!}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}!}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}!}+...\right)+\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}!}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{2}!}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{3}!}+...\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:={e}+\left(\mathrm{1}+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}!}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}!}+...\right)={e}+{e}=\mathrm{2}{e}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$$$\overset{\infty} {\sum}\frac{\mathrm{2}{n}}{{n}!}=\mathrm{2}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}!}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{2}!}+....\right)=\mathrm{2}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}!}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}!}+....\right)=\mathrm{2}{e} \\ $$$${So} \\ $$$$\overset{\infty} {\sum}\frac{{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{n}+\mathrm{3}}{{n}!}=\mathrm{3}\left({e}−\mathrm{1}\right) \\ $$

Commented by Dwaipayan Shikari last updated on 17/Aug/20

This is my approach

$${This}\:{is}\:{my}\:{approach} \\ $$

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