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Question Number 108705 by mathmax by abdo last updated on 18/Aug/20

if Σ_(k=1) ^n u_k =n(2^n +3) determine lim_(n→+∞) Σ_(k=1) ^n (1/u_k )

$$\mathrm{if}\:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{u}_{\mathrm{k}} =\mathrm{n}\left(\mathrm{2}^{\mathrm{n}} +\mathrm{3}\right)\:\:\mathrm{determine}\:\mathrm{lim}_{\mathrm{n}\rightarrow+\infty} \sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{u}_{\mathrm{k}} } \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 21/Aug/20

we have u_1 +u_2 +....+u_n =n(2^n +3) u_1 +u_2 +....+u_n +u_(n+1) =(n+1)(2^(n+1) +3) ⇒ u_(n+1) =(n+1)2^(n+1) +3n+3−n2^n −3n =2n 2^n +2^(n+1) −n2^n +3 =n 2^n +2.2^n +3 =(n+2)2^n +3 ⇒ u_n =(n+1)2^(n−1) +3 ⇒v_n =Σ_(k=1) ^n (1/u_k ) =Σ_(k=1) ^n (1/((k+1)2^(k−1) +3)) 1≤k≤n ⇒2≤k+1≤n+1 and 1≤2^(k−1) ≤2^(n−1) ⇒2≤(k+1)2^(k−1) ≤n+1 +2^(n−1) ⇒ 5≤)k+1)2^(k−1) +3≤n+4 +2^(n−1) ⇒(1/(n+4+2^(n−1) ))≤(1/((...)))≤(1/5) (1/(n+4 +2^(n−1) )) =(1/(2^(n−1) {((n+4)/2^(n−1) ) +1}))∼(1/2^(n−1) )(1−((n+4)/2^(n−1) ))=(1/2^(n−1) )−((n+4)/4^(n−1) ) ⇒Σ(1/(n+4+2^(n−1) )) converges ⇒Σ v_n cv rest to find limit.... be continued....

$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \:+\mathrm{u}_{\mathrm{2}} +....+\mathrm{u}_{\mathrm{n}} =\mathrm{n}\left(\mathrm{2}^{\mathrm{n}} +\mathrm{3}\right) \\ $$$$\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \:+\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \:+....+\mathrm{u}_{\mathrm{n}} +\mathrm{u}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} =\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:+\mathrm{3}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{u}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} =\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} +\mathrm{3n}+\mathrm{3}−\mathrm{n2}^{\mathrm{n}} −\mathrm{3n} \\ $$$$=\mathrm{2n}\:\mathrm{2}^{\mathrm{n}} \:+\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{n2}^{\mathrm{n}} \:+\mathrm{3}\:=\mathrm{n}\:\mathrm{2}^{\mathrm{n}} \:+\mathrm{2}.\mathrm{2}^{\mathrm{n}} \:+\mathrm{3}\:=\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)\mathrm{2}^{\mathrm{n}} \:+\mathrm{3}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{u}_{\mathrm{n}} =\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:+\mathrm{3}\:\Rightarrow\mathrm{v}_{\mathrm{n}} =\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{u}_{\mathrm{k}} }\:=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)\mathrm{2}^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} \:+\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{1}\leqslant\mathrm{k}\leqslant\mathrm{n}\:\Rightarrow\mathrm{2}\leqslant\mathrm{k}+\mathrm{1}\leqslant\mathrm{n}+\mathrm{1}\:\mathrm{and}\:\mathrm{1}\leqslant\mathrm{2}^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} \leqslant\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\Rightarrow\mathrm{2}\leqslant\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)\mathrm{2}^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} \leqslant\mathrm{n}+\mathrm{1}\:+\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\Rightarrow \\ $$$$\left.\mathrm{5}\left.\leqslant\right)\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)\mathrm{2}^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} \:+\mathrm{3}\leqslant\mathrm{n}+\mathrm{4}\:+\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\Rightarrow\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{4}+\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }\leqslant\frac{\mathrm{1}}{\left(...\right)}\leqslant\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{4}\:+\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left\{\frac{\mathrm{n}+\mathrm{4}}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }\:+\mathrm{1}\right\}}\sim\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{n}+\mathrm{4}}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }−\frac{\mathrm{n}+\mathrm{4}}{\mathrm{4}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} } \\ $$$$\Rightarrow\Sigma\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{4}+\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }\:\mathrm{converges}\:\:\Rightarrow\Sigma\:\mathrm{v}_{\mathrm{n}} \:\mathrm{cv}\:\:\:\mathrm{rest}\:\mathrm{to}\:\mathrm{find}\:\mathrm{limit}.... \\ $$$$\mathrm{be}\:\mathrm{continued}.... \\ $$

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