Question Number 109141 by mathdave last updated on 21/Aug/20 | ||
Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 21/Aug/20 | ||
$$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}} {n}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }.\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{3}} .\mathrm{3}}+....=−{log}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)={log}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$ | ||
Commented by mathdave last updated on 21/Aug/20 | ||
$${the}\:{question}\:{u}\:{solved}\:{wasnt}\:{the}\:{question}\:{above} \\ $$ | ||
Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 21/Aug/20 | ||
$${S}=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}} {n}^{\mathrm{3}} }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}.\mathrm{1}^{\mathrm{3}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} \mathrm{2}^{\mathrm{3}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{3}} .\mathrm{3}^{\mathrm{3}} }+.... \\ $$$$\frac{{S}}{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} .\mathrm{1}^{\mathrm{3}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{3}} .\mathrm{2}^{\mathrm{3}} }+.... \\ $$$$......{subtracting} \\ $$$$\frac{{S}}{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}.\mathrm{1}^{\mathrm{3}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{3}} }−\mathrm{1}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{3}} }\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{3}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{\mathrm{3}} }\right)+.... \\ $$$$\frac{{S}}{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }.\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{8}.\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{3}} }+\frac{\mathrm{19}}{\mathrm{27}.\mathrm{8}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+....\right) \\ $$$${S}=\mathrm{1}−\mathrm{2}{S}' \\ $$$${S}'=\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{8}.\mathrm{1}}.\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{19}}{\mathrm{27}.\mathrm{8}}.\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{3}} }+...{continue} \\ $$$$ \\ $$ | ||