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Question Number 109401 by john santu last updated on 23/Aug/20

       ((JS)/(__00_00__00))  solve the equation 4sin 3x + (1/3)cos 3x = 3

$$\:\:\:\:\:\:\:\frac{{JS}}{\_\_\mathrm{00\_00\_\_00}} \\ $$$${solve}\:{the}\:{equation}\:\mathrm{4sin}\:\mathrm{3}{x}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{cos}\:\mathrm{3}{x}\:=\:\mathrm{3} \\ $$

Answered by mr W last updated on 23/Aug/20

12 sin 3x+cos 3x=9  ((12)/( (√(12^2 +1^2 )))) sin 3x+(1/( (√(12^2 +1^2 ))))cos 3x=(9/( (√(12^2 +1^2 ))))  sin α sin 3x+cos α cos 3x=(9/( (√(145))))  cos (3x−α)=(9/( (√(145))))  3x−α=2kπ±cos^(−1) (9/( (√(145))))  ⇒x=(1/3)(2kπ+α±cos^(−1) (9/( (√(145)))))  ⇒x=(1/3)(2kπ+cos^(−1) (1/( (√(145))))±cos^(−1) (9/( (√(145)))))

$$\mathrm{12}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{3}{x}+\mathrm{cos}\:\mathrm{3}{x}=\mathrm{9} \\ $$$$\frac{\mathrm{12}}{\:\sqrt{\mathrm{12}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}^{\mathrm{2}} }}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{3}{x}+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{12}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}^{\mathrm{2}} }}\mathrm{cos}\:\mathrm{3}{x}=\frac{\mathrm{9}}{\:\sqrt{\mathrm{12}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}^{\mathrm{2}} }} \\ $$$$\mathrm{sin}\:\alpha\:\mathrm{sin}\:\mathrm{3}{x}+\mathrm{cos}\:\alpha\:\mathrm{cos}\:\mathrm{3}{x}=\frac{\mathrm{9}}{\:\sqrt{\mathrm{145}}} \\ $$$$\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{3}{x}−\alpha\right)=\frac{\mathrm{9}}{\:\sqrt{\mathrm{145}}} \\ $$$$\mathrm{3}{x}−\alpha=\mathrm{2}{k}\pi\pm\mathrm{cos}^{−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{9}}{\:\sqrt{\mathrm{145}}} \\ $$$$\Rightarrow{x}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\left(\mathrm{2}{k}\pi+\alpha\pm\mathrm{cos}^{−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{9}}{\:\sqrt{\mathrm{145}}}\right) \\ $$$$\Rightarrow{x}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\left(\mathrm{2}{k}\pi+\mathrm{cos}^{−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{145}}}\pm\mathrm{cos}^{−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{9}}{\:\sqrt{\mathrm{145}}}\right) \\ $$

Answered by ajfour last updated on 24/Aug/20

sin (3x+φ)=(9/( (√(145))))  x=(1/3)(tan^(−1) (1/(12))+tan^(−1) (9/8))  tan 3x=(((1/(12))+(9/8))/(1−(9/(12×8)))) = ((116)/(87))  x=((nπ)/3)+(1/3)tan^(−1) (((116)/(87))) .

$$\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{3}{x}+\phi\right)=\frac{\mathrm{9}}{\:\sqrt{\mathrm{145}}} \\ $$$${x}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\left(\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{12}}+\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{9}}{\mathrm{8}}\right) \\ $$$$\mathrm{tan}\:\mathrm{3}{x}=\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{12}}+\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{8}}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{12}×\mathrm{8}}}\:=\:\frac{\mathrm{116}}{\mathrm{87}} \\ $$$${x}=\frac{{n}\pi}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{116}}{\mathrm{87}}\right)\:. \\ $$

Commented by mr W last updated on 23/Aug/20

nice solution!

$${nice}\:{solution}! \\ $$

Answered by 1549442205PVT last updated on 23/Aug/20

Put tan((3x)/2)=y ⇒sin3x=((2y)/(1+y^2 )),cos3x=((1−y^2 )/(1+y^2 ))  we get ((8y)/(1+y^2 ))+((1−y^2 )/(3(1+y^2 )))=3  ⇔24y+1−y^2 =9(1+y^2 )  ⇔10y^2 −24y+8=0⇔5y^2 −12y+4=0  Δ′=36−20=16⇒y=((6±4)/5)∈{2,(2/5)}  i)For y=2⇔tan((3x)/2)=2⇔((3x)/2)=tan^(−1) 2+kπ  ⇔x=(2/3)tan^(−1) 2+((2kπ)/3)  ii)For y=(2/5)⇔tan((3x)/2)=(2/5)⇔((3x)/2)=tan^(−1) ((2/5) )+kπ  ⇔x=(2/3)tan^(−1) ((2/5))+((2kπ)/3)  Thus,the roots of given equation are  x∈{(2/3)tan^(−1) 2+((2k𝛑)/3);(2/3)tan^(−1) ((2/5))+((2k𝛑)/3)}

$$\mathrm{Put}\:\mathrm{tan}\frac{\mathrm{3x}}{\mathrm{2}}=\mathrm{y}\:\Rightarrow\mathrm{sin3x}=\frac{\mathrm{2y}}{\mathrm{1}+\mathrm{y}^{\mathrm{2}} },\mathrm{cos3x}=\frac{\mathrm{1}−\mathrm{y}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}+\mathrm{y}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\frac{\mathrm{8y}}{\mathrm{1}+\mathrm{y}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}−\mathrm{y}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{3}\left(\mathrm{1}+\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \right)}=\mathrm{3} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{24y}+\mathrm{1}−\mathrm{y}^{\mathrm{2}} =\mathrm{9}\left(\mathrm{1}+\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \right) \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{10y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{24y}+\mathrm{8}=\mathrm{0}\Leftrightarrow\mathrm{5y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{12y}+\mathrm{4}=\mathrm{0} \\ $$$$\Delta'=\mathrm{36}−\mathrm{20}=\mathrm{16}\Rightarrow\mathrm{y}=\frac{\mathrm{6}\pm\mathrm{4}}{\mathrm{5}}\in\left\{\mathrm{2},\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}}\right\} \\ $$$$\left.\mathrm{i}\right)\mathrm{For}\:\mathrm{y}=\mathrm{2}\Leftrightarrow\mathrm{tan}\frac{\mathrm{3x}}{\mathrm{2}}=\mathrm{2}\Leftrightarrow\frac{\mathrm{3x}}{\mathrm{2}}=\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \mathrm{2}+\mathrm{k}\pi \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{x}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \mathrm{2}+\frac{\mathrm{2k}\pi}{\mathrm{3}} \\ $$$$\left.\mathrm{ii}\right)\mathrm{For}\:\mathrm{y}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}}\Leftrightarrow\mathrm{tan}\frac{\mathrm{3x}}{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}}\Leftrightarrow\frac{\mathrm{3x}}{\mathrm{2}}=\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}}\:\right)+\mathrm{k}\pi \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{x}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}}\right)+\frac{\mathrm{2k}\pi}{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{Thus},\mathrm{the}\:\mathrm{roots}\:\mathrm{of}\:\mathrm{given}\:\mathrm{equation}\:\mathrm{are} \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{x}}\in\left\{\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\boldsymbol{\mathrm{tan}}^{−\mathrm{1}} \mathrm{2}+\frac{\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{k}\pi}}{\mathrm{3}};\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\boldsymbol{\mathrm{tan}}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}}\right)+\frac{\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{k}\pi}}{\mathrm{3}}\right\} \\ $$

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