Question Number 109427 by mathdave last updated on 23/Aug/20
Answered by 1549442205PVT last updated on 23/Aug/20
![determinant ((x,0,,1,,2,,3,,4),((∣x−1∣),,(1−x),0,(x−1),,(x−1),,(x−1),),((∣x−2∣),,(2−x),,(2−x),9,(x−2),,(x−2),),((∣x−3∣),,(3−x),,(3−x),,(3−x),,(x−3),),((nom),,(3−2x),,1,,(2x−3),,(2x−3),),((deno),,(8−4x),,(6−2x),,(−2+2x),,(4x−8),),((f(x)),,((2x−3)/(4x−8)),,(1/(6−2x)),,((2x−3)/(2x−2)),,((2x−3)/(4x−8)),)) From above tablet we have ∫_0 ^4 f(x)dx=∫_0 ^1 ((2x−3)/(4x−8))dx+∫_1 ^( 2) (1/(6−2x))dx+∫_2 ^( 3) ((2x−3)/(2x−2))dx+∫_3 ^( 4) ((2x−3)/(4x−8))dx A=(1/4)∫_0 ^( 1) ((2x−3)/(x−2))dx=(1/4)∫_0 ^( 1) (2+(1/(x−2)))dx =(1/4)[2x+ln(2−x)]_0 ^1 =(1/4)(2−ln2)(1) B=∫_1 ^( 2) (1/(6−2x))dx=(1/2)∫_1 ^( 2) (1/(3−x))dx=(1/2)ln(3−x)∣_1 ^2 =(1/2)(0−ln2)=−0.5ln2(2) C=∫_2 ^( 3) ((2x−3)/(2x−2))dx=(1/2)∫_2 ^( 3) ((2x−3)/(x−1))dx =(1/2)∫_2 ^( 3) (2−(1/(x−1)))dx=(1/2)[2x−ln(x−1)]_2 ^3 =(1/2)(6−ln2−4)=1−0.5ln2(3) D=∫_3 ^( 4) ((2x−3)/(4x−8))dx=(1/4)(2x−ln∣x−2)∣∣_3 ^4 =(1/4)(8−ln2−6)=0.5−0.25ln2(4) Adding up four the equalities we get I=∫_0 ^( 4) f(x)dx=0.5−0.25ln2−0.5ln2 +1−0.5ln2+0.5−0.25ln2=2−(3/2)ln2 Thus,I=2−(3/2)ln2](Q109450.png)
$$\begin{vmatrix}{\mathrm{x}}&{\mathrm{0}}&{}&{\mathrm{1}}&{}&{\mathrm{2}}&{}&{\mathrm{3}}&{}&{\mathrm{4}}\\{\mid\mathrm{x}−\mathrm{1}\mid}&{}&{\mathrm{1}−\mathrm{x}}&{\mathrm{0}}&{\mathrm{x}−\mathrm{1}}&{}&{\mathrm{x}−\mathrm{1}}&{}&{\mathrm{x}−\mathrm{1}}&{}\\{\mid\mathrm{x}−\mathrm{2}\mid}&{}&{\mathrm{2}−\mathrm{x}}&{}&{\mathrm{2}−\mathrm{x}}&{\mathrm{9}}&{\mathrm{x}−\mathrm{2}}&{}&{\mathrm{x}−\mathrm{2}}&{}\\{\mid\mathrm{x}−\mathrm{3}\mid}&{}&{\mathrm{3}−\mathrm{x}}&{}&{\mathrm{3}−\mathrm{x}}&{}&{\mathrm{3}−\mathrm{x}}&{}&{\mathrm{x}−\mathrm{3}}&{}\\{\mathrm{nom}}&{}&{\mathrm{3}−\mathrm{2x}}&{}&{\mathrm{1}}&{}&{\mathrm{2x}−\mathrm{3}}&{}&{\mathrm{2x}−\mathrm{3}}&{}\\{\mathrm{deno}}&{}&{\mathrm{8}−\mathrm{4x}}&{}&{\mathrm{6}−\mathrm{2x}}&{}&{−\mathrm{2}+\mathrm{2x}}&{}&{\mathrm{4x}−\mathrm{8}}&{}\\{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}&{}&{\frac{\mathrm{2x}−\mathrm{3}}{\mathrm{4x}−\mathrm{8}}}&{}&{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}−\mathrm{2x}}}&{}&{\frac{\mathrm{2x}−\mathrm{3}}{\mathrm{2x}−\mathrm{2}}}&{}&{\frac{\mathrm{2x}−\mathrm{3}}{\mathrm{4x}−\mathrm{8}}}&{}\end{vmatrix} \\ $$$$\mathrm{From}\:\mathrm{above}\:\mathrm{tablet}\:\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{4}} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{2x}−\mathrm{3}}{\mathrm{4x}−\mathrm{8}}\mathrm{dx}+\int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}−\mathrm{2x}}\mathrm{dx}+\int_{\mathrm{2}} ^{\:\mathrm{3}} \frac{\mathrm{2x}−\mathrm{3}}{\mathrm{2x}−\mathrm{2}}\mathrm{dx}+\int_{\mathrm{3}} ^{\:\mathrm{4}} \frac{\mathrm{2x}−\mathrm{3}}{\mathrm{4x}−\mathrm{8}}\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{A}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{\mathrm{2x}−\mathrm{3}}{\mathrm{x}−\mathrm{2}}\mathrm{dx}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \left(\mathrm{2}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{2}}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left[\mathrm{2x}+\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}−\mathrm{x}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left(\mathrm{2}−\mathrm{ln2}\right)\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{B}=\int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}−\mathrm{2x}}\mathrm{dx}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}−\mathrm{x}}\mathrm{dx}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{3}−\mathrm{x}\right)\mid_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{0}−\mathrm{ln2}\right)=−\mathrm{0}.\mathrm{5ln2}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\mathrm{C}=\int_{\mathrm{2}} ^{\:\mathrm{3}} \frac{\mathrm{2x}−\mathrm{3}}{\mathrm{2x}−\mathrm{2}}\mathrm{dx}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{2}} ^{\:\mathrm{3}} \frac{\mathrm{2x}−\mathrm{3}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{2}} ^{\:\mathrm{3}} \left(\mathrm{2}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\right)\mathrm{dx}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left[\mathrm{2x}−\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\right]_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{3}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{6}−\mathrm{ln2}−\mathrm{4}\right)=\mathrm{1}−\mathrm{0}.\mathrm{5ln2}\left(\mathrm{3}\right) \\ $$$$\mathrm{D}=\int_{\mathrm{3}} ^{\:\mathrm{4}} \frac{\mathrm{2x}−\mathrm{3}}{\mathrm{4x}−\mathrm{8}}\mathrm{dx}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left(\mathrm{2x}−\mathrm{ln}\mid\mathrm{x}−\mathrm{2}\right)\mid\mid_{\mathrm{3}} ^{\mathrm{4}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left(\mathrm{8}−\mathrm{ln2}−\mathrm{6}\right)=\mathrm{0}.\mathrm{5}−\mathrm{0}.\mathrm{25ln2}\left(\mathrm{4}\right) \\ $$$$\mathrm{Adding}\:\mathrm{up}\:\mathrm{four}\:\mathrm{the}\:\mathrm{equalities}\:\mathrm{we}\:\mathrm{get} \\ $$$$\mathrm{I}=\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{4}} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\mathrm{0}.\mathrm{5}−\mathrm{0}.\mathrm{25ln2}−\mathrm{0}.\mathrm{5ln2} \\ $$$$+\mathrm{1}−\mathrm{0}.\mathrm{5ln2}+\mathrm{0}.\mathrm{5}−\mathrm{0}.\mathrm{25ln2}=\mathrm{2}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln2} \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{Thus}},\boldsymbol{\mathrm{I}}=\mathrm{2}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\boldsymbol{\mathrm{ln}}\mathrm{2} \\ $$
Commented by mathdave last updated on 23/Aug/20
$${you}\:{had}\:{really}\:{done}\:{a}\:{great}\:{work}\:,{kudos}\:{to}\:{you} \\ $$
Commented by 1549442205PVT last updated on 24/Aug/20
$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{you},\mathrm{sir}.\mathrm{You}\:\mathrm{are}\:\mathrm{welcome} \\ $$